3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴 4．受横向载荷作用的深梁
§8-3平面一般应力状态分析——解析法
空间一般应力状态
如图8-9a所示，共有9个应力分量： 面上的，
；面上的
，
，
。
，，； 面上的，
1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：
，
，
。
2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中， 方向的应力分量全部为零（，
，
，其中
，
）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量 分别为
，
的简写，而
=
。
，
3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
2．平面一般应力状态斜截面上应力
如图8-10所示，斜截面平行于 轴且与 面成倾角 ，由力的平衡条件：
和
可求得斜截面上应力，：
（8-3a）
(8-3b)
注意到：1）图8-10b中应力均为正值，并规定倾角 自 轴开始逆时针转动者为正，反之为负。2）式中
均为 面上剪应力，且已按剪应力互等定理将
换成
。
3．正应力极值——主应力
根据（8-3a）式，由求极值条件，得
即有 （8-4a）
为取极值时的角，应有，两个解。
将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：
（8-4b） ; (8-4c)
说明：1）当倾角转到
和面时，对应有，
，，其中有一个为
极大值，另一个为极小值；而此时面上剪应力为零（如图8-11a）。
均为零。可见在正应力取极值的截
2）定义：正应力取极值的面（或剪应力为零的面）为主平面，主平面的外法线方向称主方向，正应力的极值称
主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：面应力状态为二向应力状态。
，
，故也称平
4．剪应力极值——主剪应力
根据(8-3b)式及取极值条件，可得： （8-5a）
为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分
别代入(8-3b)，(8-3a)即得：
(8-5b) ；
说明： 1）当倾角转到
为
和面时，对应有，，且二者大小均
，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小
均取平均值（如图8-11b）。
2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。注意到：
； 或
因而主剪平面与主平面成夹角。
平面一般应力状态分析——应力圆法
1．应力圆方程
由式（8-3a）和(8-3b)消去，得
到 (8-6)