??A???LAA?????B???LBA??C???LCA??????a???LaA?????LbA?b????LcA???c????LAB?LBB?LCB?LaB?LbB?LcB?LAC?LBC?LCC?LaC?LbC?LcCLAaLBaLCaLaaLbaLcaLAbLBbLCbLabLbbLcbLAc??iA??i?LBc???B?LCc??iC???? Lac??ia?Lbc??ib????Lcc????ic?? （3-8）
或写成：
ψ?Li
式中的电感L是个6*6的矩阵，主对角线元素是与下标对应的绕组的自感，其
他元素是与下标对应的两绕组间的互感。
由于各相绕组的对称性，可认定定子各相漏感相等，转子各相漏感也相等，定
义定子绕组每相漏感为Lls，定子每相主电感为Lms，转子绕组每相漏感为Llr，转子每相主电感为Lmr，由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相等，故可认为：Lms?Lmr。
定子各相自感为：
LAA?LBB?LCC?Lls?Lms
转子各相自感为：
Laa?Lbb?Lcc?Llr?Lmr
两相绕组之间只有互感。互感可分为两类：
1. 定子三相彼此之间和转子三相彼此之间的位臵是固定的，故互感为常值 2. 定子任一相和转子任一相之间的位臵是变化的，互感是?r的函数
先看其中的第一类互感，由于三相绕组的轴线在空间的相位差是120o，在假设气隙磁通为正弦分布的条件下，忽略气隙磁场的高次谐波，互感为：
1Lmscos(120o)??Lms
2于是：
1LAB?LBC?LCA?LBA?LCB?LAC??Lms2
1Lab?Lbc?Lca?Lba?Lcb?Lac??Lmr2
至于第二类定、转子间的互感，当忽略气隙磁场的高次谐波，则可近似为是定、
转子绕组轴线电角度?r的余弦函数。当两套绕组恰好在同一轴线上时，互感有最大值Lsr（互感系数），于是：
代入磁链方程，就可以得到更进一步的磁链方程。这里为方便起见，将他写成分块矩阵的形式：
LAa?LaA?LBb?LbB?LCc?LcC?Lsrcos?r
2??LAb?LbA?LCa?LaC?LBc?LcB?Lsrcos??r???
3??2??LAc?LcA?LBa?LaB?LCb?LbC?Lsrcos??r???
3????ABC???Lss??????L?abc??rs其中：
Lsr??iABC? ???Lrr??iabc??ABC???A?B?C?T； ?abc???a?b?c?T；
iABC??iAiBTiC?；
iabc??iaibTic?；
??Lms?Lls?1Lss???Lms?2??1Lms??2??Lmr?Llr?1Lrr???Lmr?2??1Lmr??2?1Lms21Lms21Lmr21Lmr2Lms?Lls??1Lms21?Lms2?Lms????? ??Lls??????? ??Llr???Lmr?Llr?1Lmr21?Lmr2LmrLrs?LrsT?2?2????cos?cos???cos????????rrr?33??????2?2????Lsr?cos??r???cos?rcos??r????
??3?3?????2?2????cos??r???cos??r????cos?r3?3???????
且与转角位臵?r有关，他们的元素是变参Lrs和Lsr两个分块矩阵互为转臵，
数，这是系统非线性的一个根源。为了把变参数转化为常参数需要进行坐标变换，这将在后面讨论。
需要注意的是：
1. 定子侧的磁链正方向与电流正方向关系是正值电流产生负值磁链，不同
于一般的电动机惯例，所以式3-8中出现了负号“-”；
2. 转子绕组经过匝数比变换折算到定子侧后，定、转子绕组匝数相等，且
各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可以认为转子绕组主电感、定子绕组主电感与定转子绕组间互感系数都相等。即Lms?Lmr?Lsr
3.3 运动方程
交流励磁电机内部电磁关系的建立，离不开输入的机械转矩和由此产生的电磁转矩之间的平衡关系。简单起见，忽略电机转动部件之间的摩擦，则转矩之间的平衡关系为：
Tm?Te?Jd? npdt （3-9）
式中，Tm为原动机输入的机械转矩，Te为电磁转矩，J为系统的转动惯量，np为电机极对数，?为电机的电角速度。
从磁场能量根据机电能量转换原理，可以得出电磁转矩方程：
Te?1?T?Lrs?Lnp?iris?isTsr2???r??r?ir? ?
?2???????ii?ii?iisin??ii?ii?iisin???????rAbBcCar?AaBbCc3???=?npLsr?
??2?????ii?ii?iisin??????AcBaCb?r3????应该指出，上述公式是在磁路为线性、磁场在空间按正弦分布的假定条件下得出的，但对定、转子的电流波形没有任何假定，它们都是任意的。因此，上述电磁转矩公式对于研究由变频器供电的三相转子绕组很有实用意义。
上述若干式子构成了交流励磁发电机在三相静止轴系上的数学模型。可以看出，该数学模型即是一个多输入多输出的高阶系统，又是一个非线性、强耦合的系统。分析和求解这组方程式非常困难的，即使绘制一个清晰的结构图也并非易事。为了使交流励磁电机具有可控性、可观性，必须对其进行简化、解耦，使其成为一个线性、解耦的系统。其中简化、解耦的有效方法就是矢量坐标变换。
四、 坐标变换及变换阵
4.1 交流电机的时空矢量图
根据电路原理，凡随时间作正弦变化的物理量（如电动势、电压、电流、磁通
等）均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴（简称时轴t）逆时针旋转的时间矢量（即相量）来代替。该相量在时轴上的投影即为缩小2倍的该物理量的瞬时值。我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间向量来代表。如图3.10所示，只用一根统一的电流相量I?1（定子电流）即可代表定子的对称三相电流。不难证明，I?1在A上的投影即为该时刻iA瞬时值的1/2倍；在B上的投影即为该时刻iB瞬时值的1/2倍；在C上的投影即为该时刻iC瞬时值的1/2倍
有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，
将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。在图3-11所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。假设某时刻iA??Im达到正最大，
?应与A重合。据旋转磁场理论，这时由定子对称三相电流所生 则此时刻统一相量IA 成的三相合成基波磁动势幅值应与A重合，即F1应与A重合，亦即与I?1重合。由于时间相量I?1的角频率?跟空间矢量F1的电角速度?1相等，所以在任何其他时刻，
F1与I?1都始终重合。为此，我们称I?1与由它所生成的三相合成基波磁动势F1在时空
?与B1图上同相。在考虑铁耗的情况下，B1应滞后于F1一个铁耗角?Fe，磁通相量?m?应落后于??为90度。 重合。定子对称三相电动势的统一电动势相量E1m
由电机学我们知道，当三相对称的静止绕组A、B、C通过三相平衡的正弦电流
iA、iB、ic时产生的合成磁势F，它在空间呈正弦分布，并以同步速度?（电角速度）顺着A、B、C的相序旋转。如图3-12-a所示，然而产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。如图3-12-b所示，所示为两相静止绕组?、?，它们在空间上互差90度，当它们流过时间相位上相差90度的两相平衡的交流电流i?、i?时，也可以产生旋转磁动势。当图3-12-a和图3-12-b的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3-12-a中的两相绕组和图3-12-b中三相绕组等效。再看图3-12-c中的两个匝数相等且相互垂直的绕组d和q，其中分别通以直流电流id和iq，也能够产生合成磁动势F，但其位臵相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以?转速旋转，则磁势F自然也随着旋转起来，称为旋转磁势。于是这个旋转磁势的大小和转速与图3-12-a和图3-12-b中的磁势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了。