??cos??ids??????iqs????sin??i???0??1??22?2????cos?????cos??????3?3??i????A2?2???????sin??????sin??????iB?
3?3???????iC??11??22??iA?
??
=C3s??2r?iB?
??iC??
（3.3.9）
由于等功率坐标变换矩阵为正交矩阵，易知：C2r??3s?CT3s??2r
两相同步旋转坐标系下的转子量可以经过如下变换得到：先利用式3.3.8的变换
矩阵得到ｄ’-q’-0轴系下的转子量；再利用式3.3.8实现到????0坐标系的转换；最后利用式3.3.7的变换矩阵，最终得到两相同步旋转坐标系下的转子量。经推导，以上三个步骤可合并为一个坐标变换矩阵：
?2?2????cos(???)cos?????cos??????????rrr?33??????ia??idr??2?2???????????i??sin????sin??????sin???????ib? ???rrr?qr??3?3?????i?????ic???0?111????222??
?ia???=C3s??2r?ib?
??ic?? （3.3.10）
同样，以上变换也满足等功率原则，该变换矩阵仍为正交矩阵。
由于转子绕组变量可以看作是处在一个以角速度?r旋转的参考坐标系下，对应
式3.3.9，转子各变量可直接以角度差???r的关系变换到同步d-q坐标系下（相应地，?1??r?
d????r?）。显然，式3.3.10与这一思路完全吻合。 dt最后，有必要指出，以上坐标变换矩阵同样适用于电压和磁链的变换过程，而
且变换是以各量的瞬时值为对象的，同样适用于稳态和动态。对三相坐标系到两相坐标系的变换而言，由于电压变换矩阵与电流变换矩阵相同，两相绕组的额定相电流和额定电压均增加到三相绕组额定值的3/2倍，因此每相功率增加到3/2倍，但是相数已由3变为2，故总功率保持不变。
五、 同步旋转两相d-q坐标系下双馈发电机的数学模
型
定子绕组接入无穷大电网，定子旋转磁场电角速度为同步角速度?1，因此，前面我们选用在空间中以恒定同步速?1旋转的d-q-0坐标系下的变量替代三相静止坐标系下的真实变量来对电机进行分析。在稳态时，各电磁量的空间矢量相对于坐标轴静止，这些电磁量在d-q-0坐标系下就不再是正弦交流量，而成了直流量。交流励磁发电机非线性、强耦合的数学模型在d-q-0同步坐标系中变成了常微分方程，电流、磁链等变量也以直流量的形式出现，如图3-15所示：
采用前面的正方向规定，即定子取发电机惯例，转子取电动机惯例时，三相对称双馈发电机的电压方程、磁链方程、运动方程和功率方程及其详细推倒过程如下：
5.1 电压方程
1、定子电压方程
要实现三相坐标系向同步旋转d-q-0坐标系的变换，可利用坐标变换矩阵
C3s??2r来进行。重写三相坐标系下的定子电压方程如下：
?uA???rs?u???0?B????0?uC???0?rs00??iA??D?A??i???D??0?B? ??B???rs????iC????D?C??
对上式两边乘以坐标变换矩阵C3s??2r，有：
C3s??2ruABC??rsC3s??2riABC?C3s??2rD?ABC
即：
??rsC3s??2riABC?C3s??2r d?1[C3s??2r?dq0]dtudq0??rsidq0?C3s??2rd?dq0dC?13s??2r?dq0? dtdt式中：
C3s??2rdC?13s??2rdt??cos??2???sin?3??1??222?cos(???)cos(???)?33?22?sin(???)?sin(???)?33??11?22?1????2??1????2??1???2???
????sin??cos????d2?22*?cos(???)?sin(???)?dt?333???cos(??2?)?sin(??2?)??33???0?10?d????100?dt???000??
对于定子绕组：
d???1 dt于是d-q-0坐标系下定子电压方程可表示为（略写零序分量）：
d?u??ri?????dssds1qs??dsdt ??u??ri????d?qssqs1dsqs?dt? （3.4.1）
2、转子电压方程
同样，要实现转子三相坐标系向同步旋转d-q-0坐标系的变换，可利用坐标变化
矩阵C3s??2r来进行。重写三相坐标系下的转子电压方程如下：
?ua??rr?u???0?b????0?uc???0rr00??ia??D?a??i???D??0?b? ??b??rr????ic????D?c?? 在进行类似定子电压方程坐标变换的过程后，结果是（略写零序分量）：
d?u?ri?(???)???drdrrds1rqr??dt ??u?ri?(???)??d?qrrqr1rdrqr?dt? （3.4.2）
式中：
?1??r?d????r? dt5.2 磁链方程
重写三相坐标系下的磁链方程如下：
??ABC???LSS??????L?abc??rsLsr??iABC??i? Lrr???abc?利用坐标变换矩阵C3s??2r和C'3s??2r将定子三相磁链和转子三相磁链变换到
d-q-0坐标系下，推导如下：
?C3s??2r对上式两边乘以??0?得：
C'3s??2r??0
?C3s??2r?0????ABC??C3s??2r?????C'3s??2r???abc??00?C??3s??2r?0???LSS??LC'3s??2r???rs0???LSS??LC'3s??2r???rsLsr??C3s??2r?Lrr???0?10Lsr??iABC??i?Lrr???abc???idq0s?0???iC'?13s??2r???dq0r??
即：
??dq0s???C3s??2r*LSS*C?13s??2r?????1??dq0r????C'3s??2r*Lrs*C3s??2r?C3s??2r*Lsr*C'?13s??2r??idq0s?? ??'?1C'3s??2r*Lrr*C3s??2r???idq0r????C3s??2r*LSS*C?13s??2r化简??1?C'*L*C3s??2r3s??2rrs?具体化简过程。
C3s??2r*Lsr*C'?13s??2r?本章不再列出?的过程比较繁琐，
C'3s??2r*Lrr*C'?13s??2r?由以上推导，最终可得d-q-0坐标系下交流励磁发电机磁链方程为：（略写零序
分量）
??ds???Ls?????qs???0??dr???Lm??????qr???00?Ls0?LmLm0Lr00??ids??i?Lm???qs? 0??idr????Lr???iqr??
其中，
Lm?3Lms为同步d-q-0坐标系下等效定子绕组与等效转子绕组间互感； 23Lms为同步d-q-0坐标系下等效定子每相绕组全自感； 2Ls?Lls?Lr?Llr?3Lms为同步d-q-0坐标系下等效转子每相绕组全自感； 2即有定子磁链方程：
??ds??Lsids?Lmidr?????Li?Li
sqsmqr?qs （3.4.3）
转子磁链方程：
??dr??Lmids?Lridr?????Li?Li
mqsrqr?qr （3.4.4）
5.3 运动方程、功率方程
变换到d-q-0同步旋转坐标系下后，运动方程形式没有变化：
Tm?Te?Jd? npdt但电磁转矩方程有变化：
Te?npLm?iqsidr?idsiqr??np??dsiqs??qsids?
（3.4.6）
定子有功功率和无功功率分别为：
?1?udsids?uqsiqs?P ?Q?ui?ui?qsdsdsqs?1 （3.4.7）
转子有功功率和无功功率分别为：
??P2?udridr?uqriqr ???Q2?uqridr?udriqr （3.4.8）