第四章 三角函数
第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
·一 角的概念· (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. ??按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)分类????按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
|题型体系|——题型一 角的定义|★★★|
1.已知
A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于 90°的角}，那么( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A?C A、B、C 关系是D.A=B=C
【答案】B
2.(2012 北京模拟)如果?????21??，那么与??终边相同的角可以表示为( )
A.{ ??│ ??=k?360°+21°，k∈Z}
B.{ ??│ ??=k?360°-21°，k∈Z} D.{ ??│ ??=k?180°-21°，k∈Z}
C.{ ??│ ??=k?180°+21°，k∈Z}
3.与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( )
A.k?360°+463°
B.k?360°+103°
C.k?360°+257°
D.k?360°﹣257°
4.(2005 陕西)已知??为第三象限角，则 所在的象限是
??( )
2
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
5.若??为锐角，则 ??=180°k+??(k 为整数)是( )
1
A.第一象限角 B.第二限角 C.第一,三象限角 D.第一,四象限角
二 弧度制、弧长公式、扇形面积公式
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.弧度记作 rad.
2.公式：
??的弧度数公式 角 │α│＝ (弧长用 l 表示) l r 角度与弧度的换算 ① 1°＝ ? 180 rad ②1 rad＝ ? ??180 ?????????????弧长公式 弧长 l ＝│α│ r 扇形面积公式 1 1 2 lr S＝ ＝ │α│ r 2 2
|题型体系|——题型一 弧长和扇形面积公式应用|★★★|
1.(2012 北京模拟)一个角的度数是 405°，化为弧度数是( )
81
A. ? 36
7 B. ??4 C.13 6 ? 9 D. ??4 2.下列转化结果错误的是( )
A.67°30′化成弧度是
3 8 7 6 ??rad B. ??
10 3
??化成度是﹣600 度
C.﹣150°化成弧度是
??rad D. ?化成度是 15 度
?12 3.若 α=﹣3 rad，则它是( ) A.第一象限角 【答案】C
B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.在半径为 2 的圆中，长度为 2 3 的弦所对的圆心角的大小是( )
2
2 A. ??3
1 B. ??3 1 C. ??6 1 D. ??12
【答案】A
5.已知扇形的周长是 8cm，面积为 3cm2，则其中心角的弧度数是( )
3 A.1 或
B.3 C. 或 6
2 3 D. 或 6
3 2
三 任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 定义 y r 叫做 α 的正弦，记作 sinα x r 叫做 α 的余弦，记作 cosα y 叫做 α 的正切，记作 tanα x ＋ － ＋ 各 象 限 符 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 － 号 口诀
|题型体系|——题型三 同角三角函数求值|★★★|
1.有下列命题，其中正确的个数( ) ①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数也不相同. A.0
B.1
C.2
D.3
2.(2014 许昌三模)若角??同时满足 sin??<0，且 tan??＜0，则角??的终边一定落在( ) A.第一象限
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3
3.(2014 荆州模拟)设 α 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos????x ，则 tanα=( )
1
5
4A. 3
3B. 4 3C. ?? 4 4D. ?? 3
4.(2014 广西)已知角 α 的终边经过点(﹣4，3)，则 cosα=( )
4A. 5
3B. 5 3C. ??
5 4D. ??
5
5.(2014 安徽模拟)已知角??的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos
?2
??
﹣ sin
2
???等于( )
3
B. ?? 5
3C. 5
4D. 5
4A. ?? 5
【答案】B
6.设 sinα＞0，cosα＜0，且 sin ? 3 ＞cos ? 3 ，则 的取值范围是( )
??
?
3 ?
?
? ?????
A.??2k????,2k?????, k ??Z
6 ??3 ??
5? ? ? C.??2k????,2k???????, k ??Z
6 ? ? ???2 ??????2
B.??k????, k?????, k ??Z
6 3 3 ????3
? ??? ? 5? ? ??
D.??2k????,2k??????????2k????,2k???????, k ??Z
4 3 ? ? 6 ? ??
?
?????????????????
?
4
四 三角函数线
三角函数线 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线 有向线段
|题型体系|——题型四 三角函数线|★★★|
??3 4 ??
1.(2014 山西模拟)设角 α 的终边与单位圆相交于点 P??,????，则sin???cos??的值是( )
??5 5 ??
?
7A. ?? 5
1B. ?? 5 1C. 5 7D. 5
2?5?5?
a ??sin ?， b ??tan ?， c ??cos ?，则( ) 2.(2014 新疆一模)若
7 7 7
A. a ??b ??c
B. a ??c ??b C. b ??c ??a D. c ??b ??a
3.(2014 大纲理)设 a ??sin 33?, b ??cos 55?, c ??tan 35?, 则
(
C. c ??b ??a
)
D. c ??a ??b
A. a ??b ??c
B. b ??c ??a
4.(2014 沈阳模拟)在[0，2π]内，满足 x 的取值范围是( ) sin x ??cosx 的
??????3????
.A ? , ????4 4 ??
???????????
??????5????.B ? , ????4 4 ????3??5????.C ??, ????4 4 ????5??7????.D ??, ????4 4 ??
?
5