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9. （2011深圳市全真中考模拟一） 如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM?BE，垂足为M，AM交BD于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM?BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
AOFBM图1ECDAOMBF图2DCE
答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴?BOE=?AOF＝90?．OB＝OA ?????? (1分) 又∵AM?BE，∴?MEA+?MAE＝90?=?AFO+?MAE ∴?MEA＝?AFO??????（2分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ?????? (3分) ∴OE=OF ??????(4分)
(2)OE＝OF成立 ?????? (5分) 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴?BOE=?AOF＝90?．OB＝OA ?????? (6分) 又∵AM?BE，∴?F+?MBF＝90?=?B+?OBE 又∵?MBF＝?OBE
∴?F＝?E??????（7分）
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ?????? (8分) ∴OE=OF ??????(9分)
10.（浙江杭州金山学校2011模拟）（10分）（根据2010年中考数学考前知识点回归＋巩固
专题13 二次函数题目改编）
如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为 顶点的三．．．角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周 长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
，；F(1，2)．???????????????2分 答案：解：（1）E(31)（2）在Rt△EBF中，?B?90，
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?EF?EB2?BF2?12?22?5． 设点P的坐标为(0，n)，其中n?0， ∵顶点F(1，2)，
∴设抛物线解析式为y?a(x?1)2?2(a?0)．
①如图①，当EF?PF时，EF?PF，
22?12?(n?2)2?5． 解得n1?0（舍去）；n2?4． ?P(0，4)．
?4?a(0?1)2?2．
解得a?2．
?抛物线的解析式为y?2(x?1)2?2 ???????????????????2分
22②如图②，当EP?FP时，EP?FP， ?(2?n)2?1?(1?n)2?9．
5解得n??（舍去）．????2分
2③当EF?EP时，EP?5?3，这种情况不存在．?????????????1分 综上所述，符合条件的抛物线解析式是y?2(x?1)2?2．
（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图③，作点E关于x轴的对称点E?，作点F关于y轴的对称点F?，连接E?F?，分别与
x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．……………………………………1分 ?E?(3，?1)，F?(?1，，2)NF?NF?，ME?ME?．
?BF??4，BE??3．
?FN?NM?ME?F?N?NM?ME??F?E??32?42?5．
又?EF?5，
的周长最小值是 ?FN?NM?ME?EF?5?5，此时四边形MNFE5?5．????????????????????????2分
（10分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形 11. （河南新乡2011模拟）
纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝
3． 4（1）求B′ 点的坐标；
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（2）求折痕CE所在直线的解析式．
答案：解：（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝
3，OC＝9， 493?∴ OB?4． ???????????????????????????３分
解得OB′＝12，即点B′ 的坐标为（12，0）． ???????????????４分 （2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′ 点，CE为折痕， ∴ △CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
22?OB?OC由勾股定理，得 CB′＝＝15． ? ?????????????５分
设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3． 由勾股定理，得 a2+32＝(9－a)2，解得a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）． ５分
?9?b,?4?15k?b. ????? ８分
设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得 ??b?9,?1?k??.?13 解得? ∴CE所在直线的解析式为 y＝－x+9． ???????１0分
312. （河南新乡2011模拟）（ 10分）
如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E． (1) 求∠AEC的度数； （2）求证：四边形OBEC是菱形．
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答案：(10分)（1）解：在△AOC中，AC=2， ∵ AO＝OC＝2，
∴ △AOC是等边三角形．?……2分 ∴ ∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°．??…?………4分 （2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l． ∴ OC∥BD． ……………………5分 ∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°． ∵ AB为⊙O的直径，
∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． ……………7分 ∴∠EAB＝∠AEC．
∴ 四边形OBEC 为平行四边形． ………………………………９分 又∵ OB＝OC＝2．
∴ 四边形OBEC是菱形． 13、（北京四中2011中考模拟12）已知：如图1，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.
A 求证：DE=BF.
答案：
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°
∵EA⊥AF，∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠DAE， ∴Rt△ABF≌Rt△ADE，∴DE=BF. F B
图1
14、（2011北京四中模拟）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，A F⊥CD于F。求证：DABE≌DACF
答案：∵菱形ABCD A ∴AB=AC,?B C ∵AE^BC,AF^CD
∴?AEB?AFC90 ∴DABE≌DACF（AAS） 15、（2011杭州模拟20）如图（1），已知正方形ABCD在直
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D E C B
E D 第14题图
F C
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线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG
（1） 连结GD，求证△ADG≌△ABE；
（2） 如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=1,BC=2，E是线段BC上一动点（不含端点B,C ）,以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当E由B向C运动时，∠FCN的大小是否保持不变，若∠FCN的大小不变，求tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，
GGAFMBEC(1)请举例说明．
ADDFNMBE(2)CN（第15题）
答案：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90o
∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ∴∠BAE＝∠DAG
∴△ BAE≌△DAG ????4分
（2）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，????1分
G 理由是：作FH⊥MN于H
由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90o 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG
D A 又∵G在射线CD上
∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90o F
∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，
M B E H N C EHFHFH∴＝＝ 图（2） ABBECH∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝2
CH AB∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝2 ????5分 16、（2011年黄冈浠水模拟1）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论． A 答案：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． ∵CE平分?BAC，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴EO?CO． 同理，FO?CO．∴ EO?FO．
∵EO?FO，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.
M O F N E
又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP， ∴?ECF?90?． ∴四边形AECF是矩形． B C
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FHEH