1．利率变化是影响股票价格波动的一个基本因素。一位资深股票分析师估计：在未来一段事件内，利率不会上调，有可能保持不变，但利率下降的概率是70%；同时，在利率下降的情况下，股票价格上涨的概率是80%。请问该分析师是否看好该公司股票？
解：设A=利率下降，B=股价上涨。据题意有：
P(A)= 0.70，P(B|A)=80%；P(A)= 0.30，P(B|A)=30% 所以，根据这位分析师的判断，该公司股票价格上涨的概率为
P(B)= 0.70×0.80+0.30×0.30=0.65=65%，因此比较看好。
2．某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95%的占四成，优质率维持在原来水平(即80％)的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策?
解：这是一个计算后验概率的问题。设A=优质率达95%，A=优质率为80%， B=试验所生产的5件全部优质。
P(A)= 0.4， P(A)= 0.6，P(B|A)= 0.95，P(B|A)=0.8，所求概率为
55)? P(ABP(A)P(BA)P(A)P(BA?)0.30951??0.61 150.50612P(A)P(BA)决策者会倾向于采用新的生产管理流程。
3．某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％，30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％，5％，3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：
(1)抽出次品的概率是多少?
(2)若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少?
解：令A1,A2,A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得： P(A P(A2)= 0.30，P(A3)=0.45；P(B|AP(B|A2)=0.05，P(B|A3)=0.03；1)= 0.25，1)=0.04，因此，所求概率分别为
(1) P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.04+0.30×0.05+0.45×0.03=0.038 5 (2) P(A3B)?
4．某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布。试求途中遇到红灯的次数的期望值和方差、标准差。
解：据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p=24／(24+36)= 0．4。设途中遇到红灯的次数=X，因此，X～B(3，0．4)。其概率分布所示：
0.45?0.030.0315??0.3506
0.25?0.04?0.30?0.05?0.45?0.030.0385 1
xi P(X?xi) 0 0．216 1 0．432 2 0．288 3 0．064 E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2
?2?(0?1.2)2?0.216?(1?1.2)2?0.432?(2?1.2)2?0.288?(3?1.2)2?0.064?0.72
??(0?1.22)?0.2?16?(121.?2)?0.72?0.8485?0.43?22(2?1.2?)0.?22.8086?4(31.2)
0
5．一位投资者欲将10万元用于一项短期投资，若该项投资的收益率X是一个随机变量，其概率分布如表所示： 收益率X(％) 概率P -1 0.05 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.15 试求这位投资者预期将获利多少?获利的标准差是多大?
参考答案：获利(收益)的期望值=0.195(万元)；标准差=0.135 9(万元) 解：E(X)=1×0.05+0×0.1+l ×.2+2×0.3+3×0.2+4×0.15=1.95％ 获得(收益)的期望值=10(万元)×1.95％=0.195(万元) 收益率的标准差=1.374％
获得(收益)的标准差=l0(万元)×1.374％=0.137 4(万元)
6．某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。试求：
(1)在同一时刻需要咨询的商品种数的最可能值是多少？
(2)若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？
解：设X=同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X～B(6，0.2)。
(1) X的最可能值为X0?[(n?1)p]?[7?0.2]?1X。=[(n+1)p]=[7×0.2]=l (2) P(X?2)?1?P(X?2)?1?
7．一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人。据测算被保险人一年中的死亡率为万分之五。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该保险中(这里不考虑保险公司的其他费用)：
(1)至少获利50万元的概率； (2)亏本的概率；
(3)计算陪付总金额的期望值和标准差。
解：设被保险人死亡数=X，X~B(20000, 0.0005)。 (1) 保费总收入=20000×50(元)=100(万元)
2
?Ck?02k60.2k0.86?k?1?0.9011?0.0989
要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人(=50?5万元/人)，因此所求的获利至少50万元的概率为P(X?10)。由于X~B(20000, 0．0005)，利用Excel可算得： P(X?10)= 0．58604
(2) 当被保险人死亡数超过20人时，赔付保险金额就要大于保费收入，保险公司就要
亏本。因此，所求的亏本的概率为
P(X>20)=1-P(X?20)=1- 0.99842=0.00158 (3) 赔付保险总金额的期望值为
50000×E(X)=50000×20000×0.0005(元)=50(万元) 赔付保险金额的标准差为
50000×?(X)=50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2=158074(元)
8．某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品，试求该企业所生产电池的：
(1)合格率是多少?
(2)电池寿命在200小时左右多大范围内的概率不小于0.9？
解：(1)P(X<150)=P(Z<
150?200)=P(Z<-1.6667)= 0.04779
30合格率为1-0.04779=0.95221=95.221%。 (2)P{|X—200| 9．将大量的数值相加时，若要求这些数值只保留整数，通常须遵循四舍五入的原则。假设这种舍入所产生的误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。那么，将1000个数值相加，其误差总和的绝对值超过20的概率是多少? 参考答案：0.02846 解：设Xi=第i个数据的舍人误差(i=1，2，?，1 000)，由于Xi在(-0.5,0.5)上服从均匀 2?0.5?0.512[0.5?(?0.5)]?。由独立同分布的分布，所以E(Xi)=?==0，D(Xi)=?= 21212中心极限定理可知，总误差Y=∑Xi～N(1000×0，1000×1／12),即 Z?Y?0~ N(0,1)。因此，所求概率为 1000/12P(Y?20)?P{Y?01000/12?20?0}?1?P{Z?2.19089} 1000/12 =2[1—?(2．19089)]=2(1—0．89577)= 0．028 46=2．846％ 3 10．从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线路程较短但比较容易遇到交通阻塞，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(50，100)；第二条路线路程较长但道路较为通畅，所需时间服从正态分布N(60，16)。若有70分钟的时间可用，问应该选择哪一条路线更有把握及时赶到火车站? 解：设第一、二条线路所需时间分别为X和Y。 X～N(50，100)，则有Z=X?70～N(0，1) 100 P(X≤70)=P(Z≤2)=0.977 25 Y～N(60，16)，则有Z=Y?60～N(0，1) 16 P(y≤70=P(Z≤2．5)=0.993 79 1l. 一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信的服务的满意情况。调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量比两年前好。试在95％的置信水平下对大客户中认为营业厅现在的服务质量比两年前好的比率进行区间估计。 解：这是一个求某一属性所占比率的区间估计的问题。已知n=30，za/2=1．96，根据 ??抽样结果计算出的样本比率为p9=30％。 30??za/2总体比率置信区间的计算公式为p计算得： ?(1?p?)p n??za/2p??(1?p)p30%?(1?30%)=(13．60％，46．40％) ?30%?1.96?n3012．为了确定某大学学生配戴眼镜的比率，调查人员欲对该大学的学生进行抽样调查。 而根据以往的调查结果表明，该大学有75％的学生配戴眼镜。则对于边际误差E分别为5％，10％，15％时，显著性水平为95％，抽取的样本量各为多少较合适? 解：根据估计总体比率时样本容量的确定公式为 (za/2)2??(1??) n? E2这里za/2?z0.05/2=1．96，?=0．75，则： (1)当边际误差E=0．05时，有： (za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??73 n?22E0.05(2)当边际误差E=0．10时，有： 4 (za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??19 n?E20.12(3)当边际误差E：0．15时，有： (za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??9 n?22E0.15看来边际误差E=0.15时，误差已经相当大了，要求样本量很少就可以满足精度要求。 13．为调查某单位每个家庭每天观看电视的平均时间是多长，从该单位随机抽取了16户，得样本均值为6.75小时，样本标准差为2.25小时。 (1)试对家庭每天平均看电视时间进行区间估计。 (2)若已知该市每个家庭看电视置信水平为95 9／6，问此时需调查多少户才能满足要求? 解：(1)根据已知有：n=16，x=6．75，s=2．25，ta/2(15)=2．131。 由方差未知时，小样本的区间估计公式得： x?ta/2s2.25=6．75±2．131?=[5．55，7．95] n16即该单位平均每个家庭每天看电视的95%的置信区间为5.55小时到7.95小时。 (2)若已知总体标准差?=2.5，且要求区间估计的边际误差与上一题的相同，即取边际误差E=ta/2s2.25=2．131?=1．20。 n16(za/2)2?2估计总体均值时样本容量的确定公式为 n? 2E当?=0．05时，za/2=1．96，则： (za/2)2?21.962?2.52n?==17 22E1.20也就是说，只需多增加一个样本就能满足精度要求。 14．据某市场调查公司对某市80名随机受访的购房者的调查得到了该市购房者中本地人购房比率P的区间估计，在置信水平为10％时，其边际误差E=0．08。则： (1)这80名受访者样本中为本地购房者的比率是多少? (2)若显著性水平为95％，则要保持同样的精度进行区间估计，需要调查多少名购房者? 解：(1)由比率区间估计的公式 E?za/2??(1?p)p 得： n22E?n0.08?80? 则： ??p=0．75 p(1??p)=22z0.1/21.645 5