p3p－x0＝－，∴x0＝，
22
3pp3pp→→22
∴y0＝2p2＝3p，∴y0＝3p，∴B(－，－3p)，A(，3p)，C(－，3p)，∴BA2BC2222＝(2p,23p)2(0,23p)＝12p＝36，∴p＝3，
∴抛物线方程为y＝23x.
2
2
y2
(理)过双曲线M：x－2＝1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐
b2
→→
近线分别相交于点B、C，且BC＝2AB，则双曲线M的离心率是( )
A.5 C.17 [答案] C
→
[解析] 由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方程为y＝±bx，∵BC＝
??y＝2?x＋1?，→
2AB，∴B在A，C之间，∴由?
??y＝－bx，
??y＝2?x＋1?，
由?
?y＝bx，?
B．10 D．37
得B(－
22b，)， b＋2b＋2
得C(22b，)， b－2b－2
→→
再由BC＝2AB得b＝4，∴e＝17.
11．若抛物线y＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是( )
2
A．(－，0)
32
C．(0，)
3[答案] C
[解析] 设直线AB：y＝x＋b，代入y＝2px中消去x得，y－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2
＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b，由条件知线段AB的中点(
2
2
2
3
B．(0，)
2
2
D．(－∞，0)∪(，＋∞)
3
x1＋x2y1＋y2
2，2
2
)，
即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p－8pb＝4p－8p(2p－1)＝－22
12p＋8p>0，∴0 3 2 x2y2 12．(20152郑州市质检)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，过F1的直 ab线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，则椭圆的离心率为( ) 3A. 53C. 4[答案] A [解析] 由已知得|PF2|＝|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c， 4B． 532D． 5 24224 |QF1|＝|PF1|＝(a－c)，|QF2|＝2a－|QF1|＝2a－(2a－2c)＝a＋c 3333310 |PQ|＝(a－c) 3 在△PF1F2和△PF2Q中，由余弦定理得： |PF1|＋|PF2|－|F1F2| cos∠F2PQ＝ 2|PF1|2|PF2||PQ|＋|PF2|－|QF2|＝ 2|PQ|2|PF2| ?2a－2c?＋?2c?－?2c?即 2?2a－2c?22c2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＝ ?10a－10c?2＋?2c?2－?2a＋4c?2?3?33?3????? 1010 2?a－c?22c33 2 2 2 整理得5c－8ac＋3a＝0，即5e－8e＋3＝0， 3 ∴e＝或e＝1(舍)． 5 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) x2y22 13．(文)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝8x有公共焦点，且双曲线上的 ab点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________． [答案] 2 x2y2 [解析] ∵抛物线y＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线2－2＝1(a>0，b>0)中c＝2， ab2 又a＝1，∴e＝＝2. cax2y2 (理)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线 abx2y2 ＋＝1上，则双曲线的离心率为________． b2a2 [答案] 2 [解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝x，由 baay－0＝－?x－c???b?b??y＝ax 2 a2abx2y2a4 得垂足的坐标为(，)，把此点坐标代入方程2＋2＝1，得22 ccbabca2b2c222 ＋22＝1，化简，并由c＝a＋b得a＝b，∴e＝＝2. aca14．(文)设抛物线x＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两→→ 点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________. [答案] 10 [解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且x1＝4y1，x2＝4y2，两式相减整理得， 2 2 y1－y2x1＋x212 ＝＝，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0，将x＝2y－7代入x＝4yx1－x242 →→2 整理得4y－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝10. x2y2 (理)椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y＝3 ab(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． [答案] 3－1 [解析] 本题考查了椭圆离心率的求解． 如图，由题意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝3c，∴2a＝(3＋1)c，∴＝3－1. ca23＋1 ＝ 15．(20152潍坊市模拟)抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、 2 F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________． [答案] y＝16x [解析] 由圆的面积为36π，得圆的半径r＝6，圆心到准线的距离为＋＝6，得p＝ 248，所以抛物线方程为y＝16x. 2 2 pp16．(文)(20152兰州市诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率12 等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x＝83y的焦点，则椭圆C的标准方程为________． 2 [答案] x2 16 ＋ ＝1 12 y2 c1 [解析] 由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b＝23.因为e＝＝，所以 a2a＝2c，又因为a－b＝c，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 16 12 2 2 2 x2y2 y2 (理)(20142安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 b2 点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 322 [答案] x＋y＝1 2 [解析] 如图，由题意，A点横坐标为c， y2 ∴c＋2＝1， b2 又b＋c＝1，∴y＝b，∴|AF2|＝b， 又∵|AF1|＝3|BF1|， 512 ∴B点坐标为(－c，－b)， 33 1 ?－b????－5c?＋3＝1， 代入椭圆方程得，?3b??b＝1－c， 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 1 c＝，??3∴?2 b＝??3 22 322 方程为x＋y＝1. 2 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(20152唐山市二模)已知抛物线E：x＝4y，m，n是过点A(a，－1)且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D． 2 (1)求m的斜率k的取值范围； (2)当n过E的焦点时，求B到n的距离． [解析] (1)m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分别代入x＝4y，得 2 x2－4kx＋4ka＋4＝0 ①， x2＋4kx－4ka＋4＝0 ②， 由Δ1＝0得k－ka－1＝0， 由Δ2＞0得k＋ka－1＞0， 故有2k－2＞0，得k＞1，即k＜－1或k＞1. －2 (2)E的焦点F(0,1)，kAF＝＝－k，所以ak＝2. 2 2 22 a∴k＝ka＋1＝3，B(2k，k)， |3k－ak＋1||3k－1| 所以B到n的距离d＝＝＝4. 22 1＋k1＋k18．(本题满分12分)(20152石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点(1,0)且与直线x＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； π (2)已知点A(5,0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且与曲线E4交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程． [解析] (1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离， 由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y＝4x. (2)解法一 ：由题意，可设l的方程为y＝x－m，其中0＜m＜5 ??y＝x－m由方程组?2 ??y＝4x2 2 2 22 ，消去y，得x－(2m＋4)x＋m＝0 ① 2 2 22 当0＜m＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m＋4)－4m＝16(1＋m)＞0成立． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2＝4＋2m，x12x2＝m， ∴|MN|＝2|x1－x2|＝ 42＋2m 5－m又因为点A到直线l的距离为d＝ 2∴S△AMN＝2(5－m)1＋m＝2m－9m＋15m＋25. 令f(m)＝m－9m＋15m＋25，(0 3 2 322 f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m－5)，(0 所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减． 当m＝1时，f(m)有最大值32， 故当直线l的方程为y＝x－1时，△AMN的最大面积为82.