解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x ＝ y ＋m，其中0＜m＜5 由方程组?
??x＝y＋m??y＝4x2
，消去x，得y－4y－4m＝0 ①
2
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ＝(－4)＋16m＝16(1＋m)＞0必成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1＋y2＝4，y12y2＝－4m. 1
∴S△＝(5－m) |y1－y2|
212
＝(5－m)?y1＋y2?－4y1y2 2
＝2(5－m)1＋m＝2m－9m＋15m＋25. 令f(m)＝m－9m＋15m＋25，(0 3 2 3 22 f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m－5)，(0 所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减． 当m＝1时， f(m)有最大值32， 故当直线l的方程为y＝x－1时，△AMN的最大面积为82. 19．(本题满分12分)(文)设点P是曲线C：x＝2py(p>0)上的动点，点P到点(0,1)的5 距离和它到焦点F的距离之和的最小值为. 4 (1)求曲线C的方程； (2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 2 p51 [解析] (1)依题意知1＋＝，解得p＝. 242 所以曲线C的方程为x＝y. 1 (2)由题意直线PQ的方程为：y＝k(x－1)＋1，则点M(1－，0)． 2 k联立方程组? ?y＝k?x－1?＋1???y＝x2 ，消去y得x－kx＋k－1＝0，得Q(k－1，(k－1))． 22 11222 所以得直线QN的方程为y－(k－1)＝－(x－k＋1)．代入曲线方程y＝x中，得x＋ kkx－1＋－(1－k)2＝0. k112 解得N(1－－k，(1－k－))． 1 kk 12 ?1－k－?所以直线MN的斜率kMN＝ 11?1－－k?－?1－? kkk12 ?1－k－?k＝－. k1过点N的切线的斜率k′＝2(1－k－)． k12 ?1－k－?k1 由题意有－＝2(1－k－)． kk－1±5解得k＝. 2 －1±5 故存在实数k＝使命题成立． 2 x2y2 (理)(20152郑州市质检)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴 ab端点，且S△BF1F2＝4，离心率为(1)求椭圆C的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点M、N，→→→→ 且满足|OM＋ON|＝|OM－ON|？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由． 2 ，O为坐标原点． 2 x2y21 [解析] (1)因为椭圆C：2＋2＝1(a>0，b>0)，由题意得S△BF1F2＝32c3b＝4，e ab2 2 ?a＝8，?c2222 ＝＝，a＝b＋c，所以解得?2 a2??b＝4. 2 2 2 所以椭圆C的方程为＋＝1. 84 x2y2 (2)假设存在圆心在原点的圆x＋y＝r，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交→→→→→→ 点M，N，因为|OM＋ON|＝|OM－ON|，所以有OM2ON＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，由方程 y＝kx＋m??22组?xy＋＝1??84 2 2 得x＋2(kx＋m)＝8，即(1＋2k)x＋4kmx＋2m－8＝0， 则Δ＝16km－4(1＋2k)(2m－8)＝8(8k－m＋4)>0， 即8k－m＋4>0， 2 22 2 2 2 2 2222 －4km±16km－4?1＋2k??2m－8?x1,2＝ 22?1＋2k?4km2m－8 ∴x1＋x2＝－2，x1x2＝2； 1＋2k1＋2k2 2222 k2?2m2－8?4k2m2m2－8k22 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝－ 22＋m＝2， 1＋2k1＋2k1＋2k2 2 2m－8m－8k→→22 要使OM2ON＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即2＋2＝0，所以3m－8k－8＝0，所以 1＋2k1＋2k3m－8k＝≥0， 8 2 2 222 ??m>2 又8k－m＋4>0，所以?2 ??3m≥8 2 2 2 2 ， 826262 所以m≥，即m≥或m≤－，因为直线y＝kx＋m为圆的一条切线， 333所以圆的半径为r＝ |m|1＋k，r＝2＝ 1＋km2 21＋ m282622 ＝，r＝，所求的圆为x＋y＝2 3m－833 8 8 ， 3 2626 此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－， 33 26xy而当切线的斜率不存在时，切线为x＝±与椭圆＋＝1的两个交点为 384826??2626??26→→22 ?，±?或?－，±?满足OM2ON＝0，综上，存在圆心在原点的圆x＋y＝3满 3??33??3足条件． 20．(本题满分12分)(20152北京文，20)已知椭圆C：x＋3y＝3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M. (1)求椭圆C的离心率； (2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由． [分析] 本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e＝计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标和直线AE的方程，由直线AE与x＝3相交于M点，得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两 2 22 2 ca种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1＋x2和x1x2，代入到kBM＝1中，只需计算出等于0即可证明kBM＝kDE，即两直线平行． [解析] (1)椭圆C的标准方程为＋y＝1. 3所以a＝3，b＝1，c＝2. 所以椭圆C的离心率e＝＝x2 2 ca6. 3 (2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)． 直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)． 令x＝3，得M(3,2－y1)． 2－y1＋y1 所以直线BM的斜率kBM＝＝1. 3－1(3)直线BM与直线DE平行．证明如下： 当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1. 又因为直线DE的斜率kDE＝ 1－0 ＝1，所以BM∥DE. 2－1 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线AE的方程为y－1＝令x＝3，得点M(3， ?x＋3y＝3，?由???y＝k?x－1? 2 2 2 2 y1－1 (x－2)． x1－2 y1＋x1－3 )． x1－2 22 2 得(1＋3k)x－6kx＋3k－3＝0. 6k3k－3 所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. 1＋3k1＋3k2 y1＋x1－3 －y2 x1－2 直线BM的斜率kBM＝. 3－x2 因为kBM－1＝ k?x1－1?＋x1－3－k?x2－1??x1－2?－?3－x2??x1－2? ?3－x2??x1－2? ＝ ?k－1?[－x1x2＋2?x1＋x2?－3] ?3－x2??x1－2? －3k＋312k?k－1?[2＋2－3] 1＋3k1＋3k＝＝0， ?3－x2??x1－2?所以kBM＝1＝kDE. 所以BM∥DE. 综上可知，直线BM与直线DE平行． 22 x?1?9 21．(本题满分12分)(文)(20152南昌市一模)已知圆E：x＋?y－?2＝经过椭圆C：2 a?2?4 2 2 y2 ＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点b→→ 共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且MN＝λOA(λ≠0)． (1)求椭圆C的方程； (2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程． [解析] (1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2， ∵F1，E，A三点共线， ∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2，∴F2(c,0)在圆上， ?1?292 ∴c＋?0－?＝， ?2?4 ∵c>0，∴c＝2， |AF2|＝|AF1|－|F1F2|＝9－8＝1，∴|AF2|＝1,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3＋1＝4，∴a＝2， ∵a＝b＋c，解得b＝2， ∴椭圆C的方程＋＝1. 42 →→ (2)点A的坐标(2，1)，∵MN＝λOA(λ≠0)， 2 2 2 2 2 2 x2y2