2b125222
[解析] 依题意得＝2c，c－ac－a＝0，即e－e－1＝0，(e－)＝，又e>1，因
a24155＋1
此e－＝，e＝，故选A.
222
10．(20152洛阳市期末)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x＋y＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a＋b－2a－2b＋3的最小值为( )
4A. 5C．2 [答案] B
[解析] 由题意知直线经过圆心(－2，－1)，∴2a＋b－1＝0，∴(a－1)＋(b－1)的
2
2
2
2
2
2
2
9B． 59D． 4
?2?2422
最小值为(1,1)到直线2a＋b－1＝0的距离的平方，即??＝，∴a＋b－2a－2b＋3的最
?5?5
49小值为＋1＝.
55
x2y2222
11．(20142唐山市二模)已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)与圆C2：x＋y＝b，若在椭
ab圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
1
A．[，1)
2C．[2
，1) 2
B．[
23，] 223
，1) 2
D．[
[答案] C
[解析] 如图，设切点为A、B，则OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，连接OP，则∠
c212
APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝2b，∴a≥2b，∴a≤2c，∴2≥，∴e≥，
a22
2
2
又∵e<1，∴2
≤e<1. 2
12．(20152河南八市质量监测)已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l2
交抛物线于A，B两点，若A(3，y0)且AF＝4，则△OAB的面积为( )
A.23
343
3
B．3 53D．
3
C.
[答案] C
[解析] 由条件及抛物线的定义知，4＝3＋，∴p＝2，
2
∴抛物线方程为y＝4x，∴A(3,23)，kAF＝3，∴lAB：y＝3(x－1)，
2
p?y＝4x由?
?y＝3?x－1?
2
12
可得3(x－1)－4x＝0，解得x1＝3，x2＝，所以y1
3
23
＝23，y2＝－，
3
1
∴S△AOB＝|OF|2|y1－y2|
2123?43?
＝313?23＋?＝3. 23??二、填空题
13．已知圆C：(x＋1)＋y＝8.若点Q(x，y)是圆C上一点，则x＋y的取值范围为________．
[答案] [－5,3]
[分析] 设x＋y＝t，则Q是⊙C与直线x＋y＝t的公共点，则问题转化为直线与⊙C有公共点时，求参数t的取值范围问题．
[解析] 设x＋y＝t，∵Q(x，y)是⊙C上任意一点，∴直线与圆相交或相切，∴|－1＋0－t|
≤22，∴－5≤t≤3. 2
14．已知圆C的圆心与抛物线y＝4x的焦点F关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
[答案] x＋(y－1)＝10
[分析] 由圆心C与F关于直线y＝x对称可求得C点坐标，再由弦长|AB|＝6可求得圆的半径，进而可得圆的方程．
[解析] 抛物线y＝4x的焦点F(1,0)关于直线y＝x的对称点C(0,1)是圆心，C到直线|430－331－2|4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，
5
又圆截直线4x－3y－2＝0的弦长为6，
2
2
2
2
2
2
∴圆的半径r＝1＋3＝10. ∴圆方程为x＋(y－1)＝10.
15．(文)已知直线2ax＋by＝1(其中a、b为非零实数)与圆x＋y＝1相交于A、B两12
点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则2＋2的最小值为________．
2
2
2
2
22
ab[答案] 4
[解析] ∵△AOB为等腰直角三角形，⊙O的半径为1，∴O到直线2ax＋by－1＝0的21212122a＋b2ab22
距离为，即＝，∴2a＋b＝2，∴＋＝(＋)()＝2＋22222＋2≥4，2222abab2b2a2a＋b2ab等号在2＝2，
b2a即b＝2a＝1时成立，∴所求最小值为4.
(理)过抛物线y＝4x的焦点F作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线322
与圆x＋y＝有公共点，则α的取值范围是________．
4
ππ2π3π
[答案] [，]∪[，]
4334
[解析] F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝
|tanα|1＋tanα
22
2
2
2
2
2
2
2
2
≤3
，∴－3≤tanα≤3.(1) 2
2
将y＝k(x－1)代入y＝4x中消去y得，
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
2k＋44
∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝，
2
kkk2＋22
∴AB的中点坐标为P(2，)，
kkk2＋2
∵|AB|≤8，∴P到准线的距离2＋1≤4，
k∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2) ππ2π3π
由(1)(2)得≤α≤或≤α≤. 4334
16．(文)(20142吉林市质检)已知点F为抛物线y＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是________．
[答案] 213
[分析] 设O关于直线x＝2的对称点为O′，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故当P、
2
A、O′三点共线时取到最小值．
[解析] 如图，∵|AF|＝4，∴A到准线距离为4，又准线方程为x＝2，∴A(－2,4)，作点O关于直线x＝2的对称点O′，则O′的坐标为(4,0)，连接
AO′与直线x＝2相交于点P，则点P为所求，|PA|＋|PO|＝|PA|＋
|PO′|＝|AO′|＝213.
(理)已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，抛物线C：y2
＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最小值为________．
[分析] 观察抛物线C与直线l2的系数可以发现，l2为C的准线，由抛物线的定义可将
P到l2的距离转化为P到焦点F的距离，则问题变为P到F的距离与P到l1的距离之和最小，
画出图形易见，当PF⊥l1时，“距离之和”取到最小值．
[答案]
92
2
[解析] 在同一坐标系中画出直线l1、l2和曲线C如图．
P在C上任意一点，由抛物线的定义知，|PF|＝d2，
∴d1＋d2＝d1＋|PF|，显见当PF⊥l1，即P为P1点时d1＋d2＝|FM|，此时距离之和取到最小值，
9292
∵|FM|＝，∴所求最小值为. 22
[点评] 当问题涉及抛物线上动点到焦点(或准线)的距离，或双曲线(椭圆)上动点到两焦点距离时，应考虑定义是否能发挥作用．
三、解答题
17．(文)已知圆C1：x＋y＝r截直线x＋y－2py(p>0)的焦点在圆C1上．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线
2
2
2
22
＝0所得的弦长为3.抛物线C2：x＝2
C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．
1
[解析] (1)易求得圆心到直线的距离为，
2所以半径r＝
2
1232p222??＋??＝1.∴圆C1：x＋y＝1.抛物线的焦点(0，)在圆x222
＋y＝1上，得p＝2，
所以x＝4y.
(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，
2
B(x1，y1)，C(x2，y2)．
将直线方程代入抛物线方程可得x－4kx－4k＝0， ∴x1x2＝－4k.
因为抛物线y＝，所以y′＝， 42所以两条切线的斜率分别为、，
22
2
x2xx1x2
x1x2－4k所以2＝－1＝，所以k＝1.
224
故所求直线方程为x－y＋1＝0.
(理)(20152唐山市一模)已知圆O：x＋y＝4，点A(3，0)，以线段AB为直径的圆
2
2
O1内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)当OB与圆O1相切时，求直线AB的方程． [解析] (1)设⊙O1与⊙O的切点为P，连OO1，O1P，
则|OO1|＋|O1P|＝|OP|＝2，取A关于y轴的对称点A1，连A1B，故|A1B|＋|AB|＝2(|OO1|＋|O1P|)＝4.
所以点B的轨迹是以A1，A为焦点，长轴长为4的椭圆．