其中，a＝2，c＝3，b＝1，则 曲线Γ的方程为＋y＝1.
4
→→
(2)因为OB与圆O1相切，所以OB⊥AB.
x2
2
设B(x0，y0)，则x0(x0－3)＋y0＝0. 222
又＋y0＝1，解得x0＝，y0＝±. 433则kOB＝±2
，kAB＝?2， 2
2
x20
则直线AB的方程为y＝±2(x－3)，即 2x＋y－6＝0或2x－y－6＝0.
18．(20152江西省质量监测)在平面平直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：ax－y＝1(a>0)
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，若该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积不超过
2
，求实数a的取值范围； 8
2
2
→→22
(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点，若l与圆x＋y＝1相切且OP⊥OQ，求双曲线的方程．
[解析] (1)双曲线的渐近线方程为y＝±ax
过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线是y＝ax＋1，设两直线的交点为A.
由?
?y＝ax＋a，?y＝－ax，
a?x＝－，?2解得?
ay＝，??2
∴A?－
?
?
aa?
2
，?， 2?
1aaa2
∴围成的三角形的面积S＝2a2＝≤，
2248
3
解得a≤
4
. 2
(2)设直线l：y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
??y＝x＋m，?2
2
??ax－y＝1，
?(a－1)x－2mx－m－1＝0(a≠1)，
2
2
2
2mm＋1∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
a－1a－1
l与圆相切∴|m|2
＝1?m＝2.(1) 2
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0?x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0
m2＋12m22
2x1x2＋m(x1＋x2)＋m＝0?－22＋＋m＝0(2)
a－1a－1
2
解(1)(2)得：a＝2 当a＝1时，不满足题意．
∴所求的双曲线方程为：2x－y＝1.
2
2
x22
19．(文)(20152河南八市质量监测)已知椭圆C：2＋y＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点
a为F，直线AF与圆M：(x－3)＋(y－1)＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
→→
(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且AP2AQ＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[解析] (1)A(0,1)，F(a－1，0)， 直线AF：
2
22
2
x＋y＝1， a2－1
2
即x＋ya－1－a－1＝0，
∵AF与⊙M相切，圆心M(3,1)，半径r＝3， ∴
3
a2
＝3，∵a>1，，∴a＝3，
∴椭圆的方程为＋y＝1.
3
→→
(2)由AP2AQ＝0知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，故可设直线AP的方程为y1
＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1，
x2
2
k将y＝kx＋1代入椭圆C的方程， 整理得(1＋3k)x＋6kx＝0， －6k解得x＝0或x＝2，
1＋3k2
2
－6k1－3k故点P的坐标为(2，2)．
1＋3k1＋3k6kk－3
同理，点Q的坐标为(2，2)．
k＋3k＋3
2
2
k2－31－3k2
－k2＋31＋3k2k2－1
所以直线l的斜率为＝.
6k－6k4k－k2＋31＋3k2k2－16kk2－3
则直线l的方程为y＝(x－2)＋2，
4kk＋3k＋3k2－11
即y＝x－.
4k2
1
所以直线l过定点(0，－)．
2
x2y2
(理)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右端点分别为A1，A2，抛
ab52
物线y＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝. 3
(1)求椭圆的方程；
?2?(2)过点?，0?作直线l与椭圆相交于P，Q两点(不与A1，A2重合)，求证：直线A2P与?7?
A2Q垂直．
[解析] (1)如图所示：不妨设A(x0，y0)，(x0>0，y0>0)，
p52
由题知AF2＝x0＋＝x0＋1＝，所以x0＝，
233
28262
所以y0＝43＝?y0＝，
333
x2y2424002＝1，2＋＝1，解得a＝4， 2＋22
aa－19a9?a－1?
所以c＝1，a＝2.
所以b＝a－1＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.
43
2
2
x2y2
＋＝1432
(2)①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，由于
72
x＝748， 49
?????
x2y2
1
?＝1－＝349
y2
120－
7212??212?12?，，－所以y＝±，所以P?，因为A2(2,0)，所以kA2P＝＝－1， ?，Q?7?72?77??7?
2－7120＋
7
kA2Q＝＝1，所以kA2P3kA2Q＝－1，所以A2P⊥A2Q.
22－7
?2?②当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，则直线的方程为y＝k?x－?， ?7?
3x＋4y＝12????x－2?y＝k?7?????
2
2
?49(3＋4k)x－112kx＋16k－12349＝0，
2
2
2
2
16k16k－12349设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A2(2,0)，则x1＋x2＝，x1x2＝， 22
7?3＋4k?49?3＋4k?所以kA2P3kA2Q＝
?x1－2??x2－2?24??k2?x1x2－?x1＋x2?＋?＝
2
22
y1y2
?
749?
x1x2－2?x1＋x2?＋4
2
2
2
＝
216k4?3＋4k???16k－12349－3＋k3?222??49?3＋4k?773?3＋4k?49?3＋4k??
16k－1234916k－23＋422
49?3＋4k?7?3＋4k?
2
2
k23?16k2－12349－32k2＋12＋16k2?
＝ 222
16k－12349－143163k＋4349?3＋4k?
－12348k－576k＝2＝2＝－1， ?16－16314＋49316?k576k所以A2P和A2Q垂直．
20.在平面直角坐标系xOy中，过定点C(2,0)作直线与抛物线y＝4x相交于A、B两点，如图，设动点A(x1，y1)、B(x2，y2)．
(1)求证：y1y2为定值；
(2)若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值．
2
2
2
(3)求证：直线l：x＝1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．
[解析] (1)当直线AB垂直于x轴时，y1＝22，y2＝－22，因此y1y2＝－8. 当直线AB不垂直于x轴时， 设直线AB的方程为y＝k(x－2)，
??y＝k?x－2?由?2
??y＝4x
，得ky－4y－8k＝0，∴y1y2＝－8.
2
因此有y1y2＝－8为定值．
(2)∵C(2,0)，∴C点关于原点的对称点D(－2,0)， 1
∴DC＝4，S△ADB＝DC2|y1－y2|.
2
1
当直线AB垂直于x轴时，S△ADB＝34342＝82；
2当直线AB不垂直于x轴时， 4
由(1)知y1＋y2＝，因此
k|y1－y2|＝?y1＋y2?－4y1y2＝1
∴S△ADB＝343|y1－y2|>82.
2
2
16
k2
＋32>42，
综上，△ADB面积的最小值为82. (3)AC中点E(
x1＋2y1
，)，AC＝?x1－2?＋y1， 22
22
因此以AC为直径的圆的半径
r＝AC＝
1
211222
?x1－2?＋y1＝x1＋4， 22
2
2
x1＋2|x1|
AC中点E到直线x＝1的距离d＝|－1|＝，
∴所截弦长为2r－d＝2＝2(定值)．
21．(文)(20142福建文，21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M、
2
2
x21＋4
|x1|2
－?? 42
N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．