[解析] (1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，
依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x＝4y.
(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变，证明如下： 12
由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x，
412
设P(x0，y0)，(x0≠0)，则y0＝x0，
4
11
由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，
221
所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
2112
即y＝x0x－x0.
2411??y＝x0x－x20
4由?2
??y＝011??y＝x0x－x20
4由?2
??y＝3
2
2
1
，得A(x0,0)．
2
16
，得M(x0＋，3)，
2x0
13
又N(0,3)，所以圆心C(x0＋，3)，
4x0113
半径r＝|MN|＝|x0＋|，
24x0|AB|＝|AC|－r ＝
11313222
[x0－?x0＋?]＋3－?x0＋? 24x04x0
2
＝6.
所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．
[点评] 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．本题第(1)问也可用直接法求解．
(理)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍． (1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A、B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．
[解析] (1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|，由此得|4－x|＝2?x－1?＋y，
化简得＋＝1，
43
所以，动点M的轨迹方程为＋＝1.
43
(2)由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋3代入＋
4
22x2y2
x2y2
x2
y2
3
＝1中，有(3＋4k)x＋24kx＋24＝0，
22
其中，△＝(24k)－4324(3＋4k)＝96(2k－3)>0， 24k由根与系数的关系得，x1＋x2＝－2，①
3＋4k2
2
2
x1x2＝
24
2.② 3＋4k又因为A是PB的中点，故x2＝2x1，③ 将③代入①，②，得
x1＝－
8k12－8k212223
2，x1＝2，可得(2)＝2，且k>， 3＋4k3＋4k3＋4k3＋4k2
3333解得k＝－或k＝，所以，直线m的斜率为－或.
2222
x2y2
22．(文)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，
ab直线y＝2与C的两个交点间的距离为6
(1)求a、b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
ca2＋b222[解析] (1)由题设知＝3，即2＝9，故b＝8a.
aa所以C的方程为8x－y＝8a. 将y＝2代入上式，求得x＝±由题设知，212
2
2
2
a2＋.
12
a2＋＝6，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝22.
(2)由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为 8x－y＝8 ①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<22，代入①并化简得， (k－8)x－6kx＋9k＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
6k9k＋8
x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2，x12x2＝2.
k－8k－8
于是|AF1|＝?x1＋3?＋y1＝?x1＋3?＋8x1－8＝－(3x1＋1)， |BF1|＝?x2＋3?＋y2＝?x2＋3?＋8x2－8＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|得，－(3x1＋1)＝3x2＋1， 26k2
即x1＋x2＝－，故2＝－，
3k－834192
解得k＝，从而x12x2＝－.
59
由于|AF2|＝?x1－3?＋y1＝?x1－3?＋8x1－8＝1－3x1， |BF2|＝?x2－3?＋y2＝?x2－3?＋8x2－8＝3x2－1. 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2|2|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|2|BF2|＝|AB|，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
(理)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点(1，e)，
ab其中e为椭圆的离心率．F1、F2是椭圆的两焦点，M为椭圆短轴端点且△MF1F2为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不经过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，第一象限内的点P(1，m)在椭圆上，直线OP平分线段AB，求：当△PAB的面积取得最大值时直线l的方程．
x2y2
[解析] (1)∵椭圆2＋2＝1经过(1，e)，
ab
e
∴2＋2＝1，
1
2
ab2
c1c2
又e＝，∴2＋22＝1，解之得b＝1，
aaabx22
∴椭圆方程为2＋y＝1.
a又△MF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c＝1，a＝2， 故椭圆方程为＋y＝1.
2
(2)由(1)可知椭圆的方程为＋y＝1，
2故P(1，
2
)， 2
x2
2
x2
2
由题意，当直线l垂直于x轴时显然不合题意．
设不经过原点的直线l的方程y＝kx＋t(t≠0)交椭圆C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x??＋y2＝1，由?2??y＝kx＋t.
2
2
消去y得(1＋2k)x＋4ktx＋2t－2＝0，
222
Δ＝(4kt)－4(1＋2k)2(2t－2)＝16k－8t＋8>0， 4kt2t∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2，
1＋2k1＋2k2t－2
x1x2＝2，
1＋2k直线OP方程为y＝∴
2
x且OP平分线段AB， 2
2
2222
2t2－4kt2
3. 2＝2，解得k＝－1＋2k21＋2k2
2
2
∴|AB|＝1＋k2?x1＋x2?－4x1x2 ＝?1＋k??4－2t?，
|2－t|又∵点P到直线l的距离d＝＝h， 21＋k1122
∴S△PAB＝|AB|h＝?2－t??4－2t?.
22设f(t)＝(2－t)(4－2t) ＝－2t＋42t－82t＋8，
由直线l与椭圆C相交于A、B两点可得－2 4 3 2 2 2 2 求导可得t＝－ 227 时f(t)在(－2，2)上有最大值，此时S△PAB取得最大值， 22 22 x－. 22 此时直线l的方程y＝－