一、选择题
1．(文)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 [答案] C
[解析] 若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.
(理)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于( ) 111A.或－ B． 2221C．－ 2[答案] B
2t321
[解析] 由条件知，＝≠，∴t＝.
16t－22
2．(文)若直线l1：x－ay＋1＝0与直线l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直(a<0)，则直线l1的倾斜角为( )
A．45° C．60° [答案] B
[解析] ∵l1⊥l2，∴13(a＋4)－a(2a－1)＝0， ∴a＝－1或2，∵a<0，∴a＝1， ∴l1的方程为x＋y＋1＝0， ∴l1的倾斜角为135°.
(理)若曲线y＝2x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( ) A．x＋4y＋3＝0 C．4x－y＋3＝0 [答案] D
1
[解析] y′＝4x，直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－，令4x＝4得x＝1，
4∴切点(1,2)，∴切线l：y－2＝4(x－1)， 即4x－y－2＝0，故选D．
3．(20152东北三省四市第二次联考)已知直线y＝22(x－1)与抛物线C：y＝4x交于
2
2
D．既不充分也不必要条件
1D． 4
B．135° D．30°或135°
B．x＋4y－9＝0 D．4x－y－2＝0
A，B两点，点M(－1，m)，若MA2MB＝0，则m＝( )
→→
A.2 1C. 2[答案] B
B．
2 2
D．0
[解析] 求出点A，B的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线y＝2213→→2
(x－1)和抛物线C：y＝4x，解得A(2,22)，B(，－2)，所以MA2MB＝(3,22－m)2(，
229122
－2－m)＝＋(22－m)(－2－m)＝0，化简得m－2m＋＝0，∴m＝，故选B．
222
[点评] 当A、B坐标互换时，求得m的另一个值，但结合选项知只能选B．
x2y25
4．(20152广东理，7)已知双曲线C：2－2＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，
ab4
则双曲线C的方程为( )
A.－＝1
43C.
－＝1 169
x2y2x2
B．－＝1
916D．－＝1
34
x2y2
y2x2y2
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．
c5222
因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b＝c－aa4
＝9，所以所求双曲线方程为
－＝1，故选C. 169
x2y2
x2y2
5．(文)(20142天津理，5)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：
aby＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 5203x3yC.－＝1 25100[答案] A
[解析] 由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a＋b＝c，c＝5得，
∴a＝5，b＝20，双曲线标准方程为－＝1，选A.
520
2
2
2
2
x2y2
B．－＝1 2053x3yD．－＝1 10025
2
2
x2y2
ba222
x2y2
x2y2
(理)(20142江西文，9)过双曲线C：2－2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐
ab近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 412C.－＝1 88[答案] A
[解析] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝x，
x2y2
B．－＝1
79D．－＝1 124
x2y2x2
x2y2y2
ba
由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A， ∴|FA|＝|FO|＝r＝4.
∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝x的交点， ∴可求得A点坐标为A(a，b)．
∴在Rt△ABO中，|OA|＝OB＋AB＝a＋b＝c＝|OF|＝4，
∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝23，
∴双曲线的方程为－＝1，故选A.
412
2
2
2
2
bax2y2
x2y22
6．(文)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y＝2px(p>0)的准线分
ab别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )
A．1 C．2 [答案] C
[解析] ∵e＝＝2，∴b＝c－a＝3a，∴＝3，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3
3
B． 2D．3
ca2222
bap3pp3pp1px，不妨设A(－，)，B(－，－)，则AB＝3p，又三角形的高为，则S△AOB＝32
2
2
2
2
22
33p＝3，∴p＝4，又p>0，∴p＝2.
2
x2y2
(理)已知点F1、F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上
ab|PF2|
的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为( )
|PF1|
A．2 C．3 [答案] B
[解析] 由双曲线定义得|PF2|＝2a＋|PF1|，
|PF2|?2a＋|PF1|?4a∴＝＝|PF1|＋＋4a，其中|PF1|≥c－a.当c－a≤2a时，y＝x|PF1||PF1||PF1|4a4a＋在[c－a，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c－a>2a，即c>3a?e>3，y＝x＋在[c2
2
2
2
2
2
B．5 D．2或5
xx4a22
－a，＋∞)上为增函数，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋＋4a＝9a，化简得10a－7ac＋cc－a＝0，两边同除以a可得e－7e＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．
7．(20152邯郸市二模)已知点P为椭圆＋＝1上一点，点F1，F2分别为椭圆的左、
43右焦点，点I为△PF1F2的内心，若△PIF1和△PIF2的面积和为1，则△IF1F2的面积为( )
1A. 4C．1 [答案] B
[解析] 由椭圆方程知，a＝2，c＝1，设内心到三边距离为d，则由椭圆定义及条件知，
1B． 2D．2
2
2
2
x2y2
S△PIF1＋S△PIF2＝|PF1|2d＋|PF2|2d＝(|PF1|＋|PF2|)2d＝2d＝1，∴d＝，∴S△IF1F2＝|F1F2|2d＝cd＝.
8．抛物线y＝x(－2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是( )
2
1
2121212
1212
A．1 C．22 [答案] B
[解析] 当x＝2时，y＝4， 设正方体的棱长为a，由题意知(21
a,4－a)在抛物线y＝x2上，∴4－a＝a2，∴a＝2. 22
B．2 D．4
x2y2
9．(文)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的
ab圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b，则双曲线的离心率等于( )
A.3 3C. 2[答案] D
[解析] ∵A在以OF为直径的圆上，∴AO⊥AF，
B．5 D．
5 2
2
aba2cabc2
∴AF：y＝－(x－c)与y＝x联立解得x＝22，y＝22，∵△AOF的面积为b，
baa＋ba＋b1abc52
∴2c22. 2＝b，∴e＝2a＋b2
x2y2
(理)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，
ab若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为( )
A.C.
5＋1
217＋1
4
B．D．
10 222 4
[答案] A