北京邮电大学本科毕业设计（论文）
(xi?x)21n1p(x)??exp(?) 2ni?12??2?2.3.3 RENYI熵盲均衡算法建模
(2-15)
根据以上对RENYI熵的分析，可以利用RENYI熵的连续表达形式构造盲均衡的代价函数，进行建模。RENYI熵的连续表达式为
??1H?(x)?ln(?f(x)?dx)
??1??p(2-16)
如若令x?e?y(n)?Rp，可以得到由RENYI熵表达式构造的代价函数。上式的物理意义变成误差的RENYI熵值。根据前面RENYI熵的理论基础，可以知道在最小化
该代价函数时，会比直接最小化方差(CMA算法)利用到更多的信息。可以期待这种方法能够在收敛速度等方面比传统的CMA算法拥有更多的优势。于是，我们可以把代价函数写成[5]：
J?p?H?(y(n)?Rp),p?1,2?
p(2-17)
因为熵的大小不依赖于信号的平均值Rp，因此上式可以化简成
J?p?H?(y(n)),p?1,2?
p(2-18)
新的基于RENYI熵的盲均衡代价函数变成了关于均衡输出信号的p次方的RENYI熵。在研究中令p?2，从而使其和CMA算法具有相似的形式，可以看成CMA算法的扩展而进行比较。
对于一个双无限的均衡器，考虑输入信号为恒模并且没有噪声的情况，当
K都成立时就能够得到(2-18)式的最小值，也就是说f(|y(n)p|?)?(|yn(p)?|K对于任何)当均衡器的输出也是恒模时。除了K?0的情况，其他时候输入信号的概率密度函数正好是输出信号概率密度函数的倍数。因此，当(2-18)式的取得最小值时，均衡器将处于最佳均衡器状态。
当??1时，对(2-11)式的最小化等价于对下式的最大化。
V??E{f[|y(n)|2]??1}
(2-19)
在RENYI熵理论中，(2-19)式被称作信息潜力。使用一个长度为N的窗口，可以利用当前样值和前N-1个样值对期望值进行估计，用估计值代替(2-19)式中我们不能所事先知道的准确期望值，可以得到式(2-20)：
V??1f[|y(j)|2]??1 ?Nj(2-20)
观察(2-20)式，还有一个概率密度函数是我们所未知的，因此引入前面讨论的Parzen Window的估计方法，对概率密度函数进行估计，将(2-20)式转变成能够直接计算的式子：
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V??1N??{?G?[|y(j)|ji2?|y(i)|2]}??1
(2-21)
上式中G?(?)函数为方差为?2的高斯核函数，表达式为：
G?(x)?1e2???x22?2 (2-22)
为了最大化式(2-21)，根据随机梯度下降法，需要使用下式通过迭代不断更新均衡器抽头系数：
?V? ???(j?1)(n)??(j)(n)??(2-23)
其中?为迭代步长。对V?关于?求偏导，可得：
其中
?V???1????2N2j?k?1?N?kf[|y(j)|2]??2F[y(j)]
(2-24)
F[y(j)]??G?[|y(j)|2?|y(i)|2][y(j)|2?|y(i)|2][y(i)x(i)*?y(j)x(j)*]
i?j(2-25)
从上式可以看出，每个y(i)都会影响到该次迭代的其他样值，从而让输出y(i)趋近于一个常数模。令??2，式(2-24)简化为
?V?1?22???N?F[y(j)]
j(2-26)
令上式中N?2，那么在估计期望时只是用前面一个和当前数据进行估计，可以将上式进一步化简，得到N?2,??2时简化的RENYI熵盲均衡代价函数：
1V??{G?[|y(j?1)|2?|y(j)|2]?G?[|y(j)|2?|y(j?1)|2]}
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对V?关于?求偏导，最终得到均衡器迭代的表达式：
??(j?1)(n)??(j)(n)?2G?(?)(?)[y(j?1)x(*j?1)(n)?y(j)x(*j)(n)*]
2?其中??|y(j)|2?|y(j?1)|2。
此时的表达式(2-28)相比之前的式(2-24)已经更为简化，计算复杂度大大降低，与CMA算法的计算复杂度接近，能够用于实际应用。
如果改变?和N的值，可以获得不同的效果。总的来说对性能影响不大，但是会增加计算的复杂度，因此不考虑。
2.3.4 RENYI熵盲均衡仿真与结果分析
仍然采用同CMA算法仿真一样的方法，使用QPSK信号进行蒙特卡罗仿真。仿真条件为[5]：信道的系统函数同前为h(z)?(0.4?0.6z?1?1.1z?2?0.5z?3?0.1z?4)ej?/4/1.41；
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(2-27)
(2-28)
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均衡器长度是21，采用中心抽头的方法进行初始化；令高斯核函数中的?2?1；迭代步长??0.2(这是使RENYI熵盲均衡能够稳定收敛最快的值)；仿真信号源随机产生15000个QPSK符号。得到如下仿真结果：
图 2-10 RENYI熵盲均衡效果图
上图中，左边第一个为发送信号的星座图，第二个为信道输出的星座图，第三个为RENYI熵盲均衡器输出的星座图。同样，将RENYI熵盲均衡算法的ISI曲线图画出如下：
图 2-11 RENYI熵盲均衡ISI曲线图
可以看出RENYI熵盲均衡器通过足够多次的迭代，ISI值能够稳定收敛在-30dB的大小。
观察RENYI熵算法收敛后的联合冲激响应序列，如下图所示，可以发现该序列类似于一个冲激序列，与CMA算法收敛后的联合冲激响应相比冲激序列的幅值更小。联合冲激响应满足了无码间干扰的奈奎斯特准则，说明该均衡器获得了较好的均衡效果。
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图 2-12 RENYI熵盲均衡算法信道-均衡器联合冲激响应
如果发送信号换成8PSK信号，同样可以用RENYI熵盲均衡方法得到如下均衡效果图：
图 2-13 RENYI熵算法对8PSK信号的均衡效果
同样，类似于对CMA算法的研究，对RENYI熵盲均衡进行重启动能力的仿真，观察RENYI熵盲均衡算法对信道的时变性的适应能力。在仿真中，发送信号的前一半序列经过一种信道，后一半经过另一种信道。这样，当盲均衡器已经匹配好第一种信道时，信道冲激响应突然发生变化，ISI突然增大，算法发散，这是算法需要重启动自适应过程来降低ISI，重新收敛，以此来验证RENYI熵算法的重启动能力。仿真条件同CMA算法的重启动能力仿真条件，得到如下重启动能力的ISI曲线图。
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图 2-14 RENYI熵盲均衡算法重启动ISI曲线图
可以看出RENYI熵盲均衡算法的重启动能力很弱，在信道遇到突发干扰时不能自动回到盲均衡模式，算法在经过15000次迭代收敛后，一直处于发散状态不能自动消除信道的突发干扰。这与RENYI熵算法的稳定性和鲁棒性有关系，只有在中心抽头初始化时才能总是收敛到全局最优解，可知RENYI熵盲均衡算法的重启动能力并不如CMA算法。
2.3.5 RENYI熵算法与CMA算法比较
与CMA算法类似，RENYI熵盲均衡算法也成功的收敛到了全局最优解，恢复出清晰的星座图。将CMA算法的均衡结果和RENYI熵算法的均衡结果放在一起，可以得到下图：
图 2-15 CMA、RENYI熵均衡结果比较
可以看出两者都能够取得令人满意的均衡结果，恢复出清晰的星座图。观察星座图的的位置，CMA算法输出的星座图信号点位于单位圆上，而RENYI熵盲均衡输出的星
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