1 -11 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2 ．在t＝0时,其速度为零,位置矢量r0 ＝10 mi．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．
题 1-11 图
分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和ay分别积分,从而得到运动方程r的两个分量式x(t)和y(t)．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即x?x0?v0xt?y?y0?v0yt?12212axt和
2ayt,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．
解 由加速度定义式,根据初始条件t0 ＝0时v0 ＝0,积分可得
?v0dv??t0adt??(6i?4j)dt
0tv?6ti?4tj
又由v?drdt及初始条件t＝0 时,r0＝(10 m)i,积分可得
?rr0dr??vdt??02tt0(6ti?4tj)dt
2r?(10?3t)i?2tj
由上述结果可得质点运动方程的分量式,即
x ＝10＋3t2
y ＝2t
消去参数t,可得运动的轨迹方程
3y ＝2x -20 m
这是一个直线方程．直线斜率k?dydx?tanα?232
,α＝33°41′．轨迹如图所示．
1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为
v0?150 km?h?1 ，他随即以仰角??5冲出，飞越跨度达57 m，安全着陆在西岸木桥上，
?求：
题 1-14 图
（1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？
（2） 若起飞点高出河面10 m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？ （3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？
分析 由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动 来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中ym和xm分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度.
解 在图示坐标系中，有
?)t （1） x?(v0cos?）t? y?(v0sin12gt2 （2）
vy?v0sin??gt （3）
(1) 由式（1），令x?xm?57 m，得飞跃时间
tm?xmv0cos??1.37 s
（2）由式（3），令vy?0，得飞行到最大高度所需时间
tm?’v0sin?g
将tm代入式（2），得飞行最大高度
ym?v0sin?2g22’?0.67m
则飞车在最高点时距河面距离为
h?ym?10 m?10.67 m
（3）将tm?1.37 s 代入式（2），得西岸木桥位置为 y = - 4.22 m “-”号表示木桥在飞车起飞点的下方.
1 -16 一质点沿半径为R 的圆周按规律s?v0t?12bt运动,v0 、b 都是常量．(1) 求t
2时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？
分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．
解 (1) 质点作圆周运动的速率为
v?dsdt?v0?bt
其加速度的切向分量和法向分量分别为
at?dsdt22??b, an?v2R?(v0?bt)R2
故加速度的大小为
a?a?a2n2t?atb?(v0?bt)R224
其方向与切线之间的夹角为
?(v0?bt)2?θ?arctan?arctan???
atRb??an(2) 要使｜a｜＝b,由
1RRb?(v0?bt)224?b可得 v0bt?
(3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为
s?st?s0?v022b
因此质点运行的圈数为
n?s2πR?v024πbR
1 -20 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v2′,若车后有一长方形物体,问车速v1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？
分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足α?arctan出所需车速v1．
lh．再由相对速度的矢量关系v??v2?v1,即可求2
题 1-20 图
解 由v??v2?v1［图(b)］,有 2??arctanlhv1?v2sinθv2cosθ
而要使α?arctan,则
v1?v2sinθv2cosθlh?
?lcosθ?v1?v2??sinθ?
?h?2 -8 如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)
分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．
解 分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有
mA g -FＴ ＝mA a (1) F′Ｔ1 -Fｆ ＝mB a′ (2) F′Ｔ -2FＴ1 ＝0 (3)
考虑到mA ＝mB ＝m, FＴ ＝F′Ｔ , FＴ1 ＝F′Ｔ1 ,a′＝2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力
Ff?mg??m?4m?a2?7.2N
题 2-8 图
讨论 动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．
2 -13 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,
?1
式中F 的单位为N, t的单位的ｓ．在t＝0时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·求质s．
点在任意时刻的速度和位置．
分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．
解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有
120t?40?mdvdt
依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ-1 ,运用分离变量法对上式积分,得
?vv0dv???12.0t?4.0?dt
0tv＝6.0+4.0t+6.0t2
又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时 x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有
x?x0dx???6.0?4.0t?6.0t?dt
20tx ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3
2 -15 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴,求：(1) 运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1/10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)
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