F???k1k2/?k1?k2??x??kx
式中k?k1k2/?k1?k2?为常数，则物体作简谐运动，振动频率
v?ω/2π?12πk/m?12πk1k2/?k1?k2?m
讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2） 如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为v?12π?k1?k2?/m，读者可以一试．通过这些例
子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．
5-10 某振动质点的x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的相位；（3） 到达点P 相应位置所需的时间．
分析 由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题．本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量A、ω和?0，从而写出运动方程．曲线最大幅值即为振幅A；而ω、?0通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比较方便．
解 （1） 质点振动振幅A ＝0.10 ｍ．而由振动曲线可画出t0 ＝0 和t1 ＝4 ｓ时旋转矢量，如图（b） 所示．由图可见初相?0??π/3（或?0?5π/3），而由??t1?t0???/2??/3得ω?5π/24s?1，则运动方程为
?5π?x?0.10cos?t?π/3??24??m?
题5-10 图
（2） 图（a）中点P 的位置是质点从A／2 处运动到正向的端点处．对应的旋转矢量图如图（c） 所示．当初相取?0??π/3时，点P 的相位为?p??0???tp?0??0（如果初相取成?0?5π/3，则点P 相应的相位应表示为?p??0???tp?0??2π．
（3） 由旋转矢量图可得ω?tp?0??π/3，则tp?1.6s．
5-12 图（a）为一简谐运动质点的速度与时间的关系曲线，且振幅为2cm，求（1） 振动周期；（2） 加速度的最大值；（3） 运动方程．
分析 根据v-t 图可知速度的最大值vmax ，由vmax ＝Aω可求出角频率ω，进而可求出周期T 和加速度的最大值amax ＝Aω2 ．在要求的简谐运动方程x ＝Acos（ωt ＋φ）中，因为A 和ω已得出，故只要求初相位φ即可．由v －t 曲线图可以知道，当t ＝0 时，质点运动速度v0 ＝vmax/2 ＝Aω/2，之后速度越来越大，因此可以判断出质点沿x 轴正向向着平衡点运动．利用v0 ＝－Aωsinφ就可求出φ．
解 （1） 由vmax?A?得??1.5s?1，则
T?2π/ω?4.2s
（2）amax?A?2?4.5?10?2m?s?2 （3） 从分析中已知v0??Aωsin?Aω/2，即
sin???1/2
???π/6,?5π/6
因为质点沿x 轴正向向平衡位置运动，则取??5π/6，其旋转矢量图如图（b）所示．则
5π??运动方程为 x?2cos?1.5t???cm?
6??
题5-12 图
5-15 如图（a）所示，质量为1.0 ×10-2 kg 的子弹，以500 m·s-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m-1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．
题5-15 图
分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m1 ＋m2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0 和初位移x0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．
解 振动系统的角频率为
??k/?m1?m2??40s?1
由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0 为
v0?m1vm1?m2?1.0m?s?1
又因初始位移x0 ＝0，则振动系统的振幅为
A?x0??v0/ω??v0/ω?2.5?1022?2m
图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位?0?π/2，则简谐运动方程为
x?2.5?10?2cos?40t?0.5π??m?
5-19 已知两同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为x1?0.05cos?10t?0.75π??m?；x2?0.06cos?10t?0.25π??m?．求：（1） 合振动的振
幅及初相；（2） 若有另一同方向、同频率的简谐运动x3?0.07cos?10t??3??m?，则?3为多少时，x1 ＋x3 的振幅最大？ 又?3 为多少时，x2 ＋x3 的振幅最小？
题5-19 图
分析 可采用解析法或旋转矢量法求解.由旋转矢量合成可知，两个同方向、同频率简谐运动
的合成仍为一简谐运动，其角频率不变；合振动的振幅A?A1?A2?2A1A2cos??2??1?，
22其大小与两个分振动的初相差?2??1相关．而合振动的初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2??
解 （1） 作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如图）．因为Δ??故合振动振幅为
A?A1?A2?2A1A2cos??2??1??7.8?1022?2?2??1??π/2，
m
合振动初相位
??arctan??A1sin?1?A2sin?2?/?A1cos?1?A2cos?2???arctan11?1.48rad
（2） 要使x1 ＋x3 振幅最大，即两振动同相，则由Δ??2kπ得
?3??1?2kπ?2kπ?0.75π,k?0,?1,?2,...
要使x1 ＋x3 的振幅最小，即两振动反相，则由Δ???2k?1?π得
?3??2??2k?1?π?2kπ?1.25π,k?0,?1,?2,...
5-20 两个同频率的简谐运动1 和2 的振动曲线如图（a）所示，求（1）两简谐运动的运动方程x1 和x2；（2） 在同一图中画出两简谐运动的旋转矢量，并比较两振动的相位关系；（3） 若两简谐运动叠加，求合振动的运动方程．
分析 振动图已给出了两个简谐运动的振幅和周期，因此只要利用图中所给初始条件，由旋转矢量法或解析法求出初相位，便可得两个简谐运动的方程．
解 （1） 由振动曲线可知，A ＝0.1 ｍ，T ＝2ｓ，则ω＝2π／T ＝πｓ-1 ．曲线1
表示质点初始时刻在x ＝0 处且向x 轴正向运动，因此φ1 ＝－π／2；曲线2 表示质点初始时刻在x ＝A /2 处且向x 轴负向运动，因此φ2 ＝π／3．它们的旋转矢量图如图（b）所示．则两振动的运动方程分别为
?πt?π/3??m? x1?0.1cos?πt?π/2??m? 和 x2?0.1cos（2） 由图（b）可知振动2超前振动1 的相位为5π／6． （3）x?x1?x2?A?cos??t???
其中A??A1?A2?2A1A2cos??2??1??0.052m
22??arctanA1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2?arctan??0.268???π12
则合振动的运动方程为 x?0.05c2o?πst?π/1??2m?
题5-20 图
6-5 一横波在沿绳子传播时的波动方程为y?0.20cos?2.5π?πx?，式中y的单位为m，t的单位为s．（1） 求波的振幅、波速、频率及波长；（2） 求绳上质点振动时的最大速度；（3） 分别画出t ＝1s 和t ＝2 s时的波形，并指出波峰和波谷．画出x ＝1.0 ｍ处质点的振动曲线并讨论其与波形图的不同．
分析 （1） 已知波动方程（又称波函数）求波动的特征量（波速u、频率?、振幅A 及波长λ等），通常采用比较法．将已知的波动方程按波动方程的一般形式
???x?xy?Acos???t????0?书写，然后通过比较确定各特征量（式中前“-”、“+”的选取分
uu????别对应波沿x 轴正向和负向传播）．比较法思路清晰、求解简便，是一种常用的解题方法．（2） 讨论波动问题，要理解振动物理量与波动物理量之间的内在联系与区别．例如区分质点的振动速度与波速的不同，振动速度是质点的运动速度，即v ＝dy/dt；而波速是波线上质点运动状态的传播速度（也称相位的传播速度、波形的传播速度或能量的传播速度），其大小由介质
的性质决定．介质不变，波速保持恒定．（3） 将不同时刻的t 值代入已知波动方程，便可