E?m?iM2RT?4.0?104.0?10?3?3?32?8.31?273J?3.4 ?10J
37－14 有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2) 由N和v0求a 值；(3) 求在速率v0/2到3v0/2 间隔内的分子数；(4) 求分子的平均平动动能.
题 7-14 图
分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数f?v?的物理意义.
f?v??dNNd?，题中纵坐标Nf?v??dN/dv，即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数.
?同时要掌握f?v?的归一化条件，即?f?v?dv?1.在此基础上，根据分布函数并运用数学方
0法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.
解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到2v0 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积
S?即曲线下面积表示系统分子总数N.
?2v00Nf?v?dv?N
(2 ) 从图中可知，在0 到v0区间内，Nf?v??av/v0；而在0 到2v0 区间，Nf?v??α.则利用归一化条件有
N??v0avv00dv??2v0v0adv
(3) 速率在v0/2到3v0/2间隔内的分子数为
ΔN??v0avv00dv??3v0/2v0adv?7N/12
(4) 分子速率平方的平均值按定义为
v?2??0vdN/N?2??02vf?v?dv
故分子的平均平动动能为
?va3?k?mv?m??vdv?22?0Nv01210?2v0v0?3122vdv??mv0 N?36a7－18 在一定的压强下，温度为20℃时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9×10－8m 和27.5×10m.试求：(1) 氩气和氮气分子的有效直径之比；(2) 当温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率.
分析 ( 1 ) 气体分子热运动的平均自由程??－8
12πdn2?kT/?2πdp，因此，温
2?度、压强一定时，平均自由程λ?1/d2.(2) 当温度不变时，平均自由程λ?1/p. 解 (1) 由分析可知
dAr/dN2?λN2/λAr?1.67
(2) 由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有
??2λN?5.5?10λN22?7m
N2而此时的分子平均碰撞频率 ZN?2vN2?λN2?8RT/πM2λN2
将T ＝293K，MN2 ＝2.8×10－2 kg·mol－1 代入，可得
ZN2?8.56?10s
8-18－7 如图所示，1 mol氦气，由状态A(p1,V1)沿直线变到状态B(p2,V2)，求这过程中内能的变化、对外作的功、吸收的热量.
分析 由题 8-4 分析可知功的数值就等于p-V图中A?B过程曲线下所对应的面积，又对一定量的理想气体其内能E??i2RT，而氦气为单原子分子，自由度i=3，则 1 mol 氦
气内能的变化?E?32R?T，其中温度的增量?T可由理想气体物态方程pV??RT求出.
求出了A?B过程内能变化和做功值，则吸收的热量可根据热力学第一定律Q?W??E求出.
解 由分析可知，过程中对外作的功为
W?内能的变化为
12(V2?V1)(p2?p1)
?E?吸收的热量
32R?T?32(p2V2?p1V1)
Q?W??E?2(p2V2?p1V1)?12(p1V2?p2V1)
题 8-7 图
8 －9 如图所示，在绝热壁的汽缸内盛有1 mol 的氮气，活塞外为大气，氮气的压强为 1.51 ×105 Pa，活塞面积为0.02 m2 .从汽缸底部加热，使活塞缓慢上升了0.5 m.问(1) 气体经历了什么过程？ (2) 汽缸中的气体吸收了多少热量？ (根据实验测定，已知氮气的摩尔定压热容Cp，m ＝29.12 J·mol－1·K－1，摩尔定容热容CV,m ＝20.80 J·mol-1·K-1 )
题 8-9 图
分析 因活塞可以自由移动，活塞对气体的作用力始终为大气压力和活塞重力之和.容
器内气体压强将保持不变.对等压过程，吸热Qp?vCp,mΔT.ΔT 可由理想气体物态方程求出.
解 (1) 由分析可知气体经历了等压膨胀过程.
－1－1
(2) 吸热Qp?vCp,mΔT.其中ν ＝1 mol，Cp,m ＝29.12 Ｊ·mol·Ｋ.由理想气体物
态方程pV＝νRT，得
ΔT＝(p2V2－p1 V1 )/R ＝p(V2－V1 )/R ＝p· S· Δl/R
则 Qp?Cp,mpS?lR3?5.29?10J
8－14 0.32 kg的氧气作如图所示的ABCDA循环，V2 ＝2V1 ,T1＝300Ｋ，T2＝200Ｋ,求循环效率.
题 8-14 图
分析 该循环是正循环.循环效率可根据定义式η＝W/Q 来求出，其中W表示一个循环过程系统作的净功，Q为循环过程系统吸收的总热量.
解 根据分析，因AB、CD为等温过程，循环过程中系统作的净功为
W?WAB?WCD??m?Mm?MRT1ln?V2/V1??m?M3RT2ln（V1/V2）
R?T1?T2?ln?V1/V2??5.76?10J由于吸热过程仅在等温膨胀(对应于AB段)和等体升压(对应于DA段)中发生,而等温过程中ΔE＝0,则QAB?WAB.等体升压过程中W＝0，则QDA?ΔEDA,所以，循环过程中系统吸热的总量为
Q?QAB?QDA?WAB?ΔEDA??m?Mm?MRT1ln?V2/V1??RT1ln?V2/V1??4m?MCV,m?T1?T2?
m?5M2R?T1?T2??3.81?10J由此得到该循环的效率为
η?W/Q?15%
8－15 图(ａ)是某单原子理想气体循环过程的V－T 图，图中VC＝2VA .试问：(1) 图中所示循环是代表制冷机还是热机？ (2) 如是正循环(热机循环)，求出其循环效率.
题 8-15 图
分析 以正、逆循环来区分热机和制冷机是针对p－V 图中循环曲线行进方向而言的.因此，对图(ａ)中的循环进行分析时，一般要先将其转换为p－V图.转换方法主要是通过找每一过程的特殊点，并利用理想气体物态方程来完成.由图(ａ)可以看出，BC为等体降温过程，CA 为等温压缩过程；而对AB过程的分析，可以依据图中直线过原点来判别.其直线方程为 V＝KT，C 为常数.将其与理想气体物态方程pV＝?RT 比较可知该过程为等压膨胀过程(注意：如果直线不过原点，就不是等压过程).这样，就可得出p－V 图中的过程曲线，并可判别是正循环(热机循环)还是逆循环(制冷机循环)，再参考题8－14的方法求出循环效率. 解 (1) 根据分析，将V－T 图转换为相应的p－V图，如图(ｂ)所示.图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环.
(2) 根据得到的p－V 图可知，AB为等压膨胀过程，为吸热过程.BC为等体降压过程，CA为等温压缩过程，均为放热过程.故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为
Q1?mMCp,m?TB?TA?
Q2?mMCV,m?TB?TA??mMRTAln?VC/VA?
CA 为等温线，有TA＝TC ；AB 为等压线，且因VC＝2VA ，则有TA ＝TB /2.对单原子理想气体，其摩尔定压热容Cp，m ＝5R/2，摩尔定容热容CV，m ＝3R/2.故循环效率为
??1?Q2/Q1?1??3T?TAln?2A??2/?5TA/2??1??3?2ln2?/5?12.3% ??