2．1 函数的概念和图象(1)
一、 学习内容、要求及建议
知识、方法
函数的三要素
函数的概念
函数的表示方法 函数的图象
作图象 图象的变换
要求
建议
与初中函数定义比较，理解高中函数定义，会解决函数的三要素问题，能选择适
理解 当的方法表示函数，会作函数的图象，利
用图象解决相关问题，注意函数在实际问题中的应用.
二、 预习指导 1． 预习目标
(1)准确利用前面所学的集合以及对应的语言来刻画函数； (2)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域； (3)在实际问题中会用恰当的方法表示函数； (4)了解并能应用简单的分段函数； (5)了解函数图象的简单变换. 2．预习提纲：
(1) 强化对函数的概念的认识
阅读教材第21-23页以及典型例题例1-5，教材开头以三个问题引出函数的概念，这三个函数分别以表格、解析式、图象形式给出的，具有一定的代表性．教材的例1和典型例题例1、例3是从“数”的角度深化对函数概念的认识，教材例2以及典型例题例4都是求函数的定义域，要注意对常见的约束条件的认识．教材例3和典型例题例4-5都是求函数的值域问题，要掌握求值域的常见方法．
(2) 养成通过“形”(主要指图象)来研究函数的习惯
阅读教材第25-27页，教材例4目的是熟悉一次函数和二次函数图象的作法，而例5是离散型的函数图象(由一些孤立的点组成)，例6是函数图象的一个直接应用(比大小),可以体会到图象的直观性的好处．
(3)能够用适当的方式表示函数，并能够利用函数解决一些实际问题
阅读教材第30-31页，典型例题例6-8，教材例1目的是熟悉用三种常见的表示方法来表示离散的直线型函数，例2和例3都是分段函数问题，相应地，典型例题7-8是作这样的函数的图象及图象应用．典型例题例6是求函数的解析式问题，掌握求解析式常见的方法．例7、8是函数的实际应用，注重数学与生产、生活实际的联系． (4)了解函数图象的变换
阅读典型例题例9-11，了解三种常见的图象变换方式． (5)完成自我测试题 3． 典型例题
例1 判断下列对应关系是否为函数关系．
⑴x?y?|x|，x?R,y?R；⑵x?y?11,x?{?1,0,2}y?{?1,0,}； x2⑶x?y为x的平方根，x?(0,??),y?R．
分析：欲判断一个对应A→B是否为函数，必须抓住函数概念的实质，即A中元素的任意性，
B中元素的惟一性．
解：(1)对于任意一个实数x,|x|被惟一确定,所以这个对应是函数；
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(2)对于x?0,在{?1,0,}中没有元素与它对应,所以这个对应不是函数； (3)对于x?1,有两个元素?1与它对应,所以这个对应也不是函数．
点评：函数的本质是两个非空数集之间的一种单值对应,把握函数定义中的“非空”、“每一个”、“惟一”三个关键词,并能据此判断一个对应是否是函数． 例2 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一函数，为什么？ ⑴f(x)?(x?1)0，g(x)?1； ⑵f(x)?x，g(x)?2212x2；
(x)2x ⑶f(x)?x，g(x)?(x?1)； ⑷f(x)?． ，g(x)?2x(x)分析：相同函数是指定义域、对应法则、值域都相同的函数，由于这些函数都是以解析形式
给出，因此，可以用研究其函数的定义域与对应法则是否相同来说明两个函数是否相同．必要的时候,可以对这些解析式等价变形，直接说明．
解：(1)中f(x)和g(x)的定义域不同,所以表示不同的函数； (2)中f(x)和g(x)的对应法则和值域都不同,所以表示不同函数； (3)中f(x)和g(x)的对应法则不同,所以表示不同的函数；
(4)中f(x)和g(x)的定义域都是(0,??),f(x)?g(x)?1,对应法则也相同,所以表示相同的函数．
点评：第(4)个问题也说明了函数解析式的结构形式不同,但有可能表示相同的函数． 例3 求下列函数的定义域：
4?x2⑴y?1?x?x?1； ⑵y??(x?2)0；
x?122⑶y?11?1x?1
x?2?1分析：求函数定义域首先是列出对自变量的全部限制要求，使函数式各部分同时有意义；其次是对各式的求解要准确；最后借助数轴求各约束条件所表示集合的交集．
2???1?x?1,?1?x?0,解：(1)由?2可得?
x?1或x??1.???x?1?0, ∴函数的定义域为{?1,1}；
?4?x2?0,??2?x?2,?? (2)由?x?1?0,可得?x?1,
?x??2.?x?2?0,??
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∴函数的定义域为(?2,1)??1,2?.
?1?x?0或x??1,?1??0, (3)由?可得? xx??3且x??1.???|x?2|?1?0, ∴函数的定义域是(??,?3)?(?3,?1)?(0,??)． 点评：求解定义域的问题一般来讲比较容易，关键是能正确地运算．
例4 作出下列函数的图象：
x2?x(1)y?x，|x|?1； (2)y?；
x?1(3)y?|x|，x?{?2,?1,0,1,2}； (4)y?x2?2x?3，0?x?3．
分析：(1)的图象是线段．因为直线可以由两点来确定,所以我们不妨就描出这条线段的两个端点．(2)可做等价变形,转化成我们熟悉的函数这将函数关系式恒等变形，再用描点法作图．前三个图象都是“直线型”的,我们一般不需要列表．(3)的图象是离散的一些点,我们描出这些点即可．(4)的图象是抛物线的一段弧(仅包含一个端点),可以先作整个抛物线,然后截取我们所要的一部分,注意作图需要列表． 解：(1)如图①；
(2)函数等价于y?x,x?1．如图②； (3)如图③； (4)列表： x y 如图④．
-1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0
图① 图②
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图③ 图④
点评：对于直线型的函数图象我们一般可以直接作图，而作其他函数图象应注意规范性，一般我们采用描点法作图，其基本步骤是：列表，描点，连线． 问：下列图形哪些是可以作为函数的图象．
欲判断一个图形是否可以作为函数的图象，必须抓住函数概念的实质，对定义域中的任意的x．有惟一的y与之对应,体现在图象上就是任意的平行于y轴的直线跟函数的图象至多有1个公共点．图形(1)(3)可以作为函数的图象，图形(2)(4)不能作为函数的图象．
你能写出下列函数的值域吗？
2(1)f(x)?|2x?2|； (2)f(x)?|x?1|?|x?2|； (3) f(x)?x?2|x|?3．
分析： 通过讨论将绝对值符号去掉，画出函数图象，利用数形结合的思想求解． 解： (1)原函数即f(x)??
?2x?2(x?1),由图①知,函数的值域是[0,??)；
?2?2x(x?1).46
??2x?1(x??2),? (2)原函数即f(x)??3(?2?x?1),由图②知,函数的值域是[3,??)；
?2x?1(x?1).?2??x?2x?3(x?0), (3)原函数即f(x)??2由图③知,函数的值域是[?4,??)．
??x?2x?3(x?0).
图① 图②
图③
点评： 对于容易作出图象的一些函数,我们可以利用函数的图象来求最值以及值域． 图象是函数的一种重要的表达形式，具有很强的直观性，应加以重视． 例5 求下列函数的值域：
2⑴y?2x?3,x?(?1,2]； ⑵y?x?2x?3，0?x?3；
⑶y?1，?2?x??1； ⑷y?x2?2，x?{?1，，，012}； 2x42(5) y?x?2x?1； (6)y?x?x?1； (7)y?|x|?1．
|x|?1分析： 前3个函数是比较熟悉的函数，而第四个函数的定义域是由一些离散的量组成的，一般直接代入．(5)、(6)、(7) 这三个函数的解析式都比较复杂,都可以通过换元转化为熟悉的函数,但换元时要注意新元的取值范围．
解：(1)∵?1?x?2,∴?2?2x?4,∴?5?2x?3?1．
∴函数的值域是(?5,1]； (2) 列表：
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