?2x?3,x?0?（1）y??x?3,0?x?1；
??x?5,x?1?（2）f(x)?|x?1|?|x?3|(x?R)；
21)?[2，5)； ,x?(??，x?13x?1（4）y? x?[0，3) .
x?1（3）y?32．设f(x)表示?x?6和?2x?4x?6中较小者，求函数f(x)的最大值．
B组
33．函数y?f(x)的图象与直线x?4的交点个数可能是 ． 34．一个函数发生器，当输入x后，经过发生器的作用，便输出
21x?90．此时发生器立10即对输出值作一个判断：若输出值超过99．9，则发生器停止工作；若输出值不超过99．9时，它会自动将输出值作为新输入值输入，经过发生器的作用，再作同样法则运算后输出……，最终，打印机会依次打印出这些输出值． (1)若输入值为10，则打印机打印出何种结果？
(2)若输入值a后，打印机只打印出了a，问a为多少？
(3)若输入值b后，打印机打印出了2个值，求b的取值范围？
35．若f(x)?ax2?2，a为常数且a?0，且f[f(2)]??2，求a的值． 36．已知f(x)?11?x2的定义域是F，函数g(x)?2?x?6x2的定义域是G，全集U=R，
那么F?(CUG)等于 ． 37．已知函数f(x)?实数a的取值范围．
238．已知函数f(x)?ax?ax?1，若f(x)?0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
a?x的定义域为A，g(x)?x2?4的定义域为B，求使A?B的
11?x2f()的值是 ． (x?0)39．设g(x)?1?2x，f[g(x)]?,则
2x240．设函数f(x)?cx3(x??)满足f[f(x)]?x，求c的值． 2x?3241．若f(2x)= （1?2x（)1?2x)，求f(x)的解析式．
42．已知函数f(x)的定义域为非零实数组成的集合,且满足f(x)?2f()?3x?2,求函
1x 58
数f(x)的解析式．
43．若函数f(x?1)?2x2?1，则f(x?1)= ． 44．已知f(x?3)?x2?2x?1，则f(x?3) = ．
45．设y?ax?2a?1，当?1?x?1时，y的值有正有负，求实数a的取值范围． 46．已知函数f(x)的定义域为[0，1]．
(1)求f(x?1)的定义域；(2)求f(x?1)?f(2x?1)的定义域．
47．若f(x)的定义域为[?1,4)，则函数f(?2)的定义域为___________．
48．函数y?f(|x|?2)的图象可以先由y?f(x)的图象向 平移 个单位，得到
1xy?f(x?2)的图象，再 而得到．
49．函数y?f(1?x)的图象可以经过下列两种方法而得到：
(1)先将y?f(x)的图象关于 对称而得到y?f(?x)的图象，再向 平移 个单位而得到；
(2)先将y?f(x)的图象向 平移 个单位得到y?f(x?1)的图象， 再关于 对称而得到．
250．若函数y?x?(m?1)x?5，x?[a，m]的图象关于直线x??2对称，则函数
y?2x?1的对称中心为 ． x?a51．一次函数y?kx?b的图象为C，C关于y轴对称的图形是C1，C1关于x轴对称的图形是C2，若C2与C重合，求k，b的取值或取值范围． 52．（1）求函数y?2x?3?13?4x的值域．
(2)y?3x2?12x?184x?x2?23
53.已知函数g(x)的值域为[，]，求函数f(x)?g(x)?1?2g(x)的值域．
254.已知关于x的函数y?x?2ax?2，?5?x?5，求y的最大值．
384955.已知f?x??x?2x?3,x??t,t?1?,t?R，求f?x?的值域．
2 59
a1?在区间?0,1?上的最大值是2，求实数a的值． 4225?4]，试求m的取值范围．57．已知函数y?x2?3x?4的定义域为[0，m]，值域为[?， 412358．已知函数f(x)?x?x?的定义域和值域都是[1，b](b?1)，求b的值．
2256.已知函数f(x)??x?ax?2
C组
11x2f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)? 59．已知函数,那么f(x)?，求
231?x2111f()?f(5)?f()???f(2010)?f()的值． 45201060．若B={0，1，2}，试找出所有的集合A，使得f：x?y?2x?1是从A到B的函数．
61．对应f：x?y?111??，x?{?1，，2?3}，y?B??0，，1，?是否是函数关系？若|x|23??对应x?y?1，x?A，y?B为函数，则集合A最多有几个元素？并求此时函数的值|x|域．
62．函数有三要素：对应法则、定义域和值域．一般地，如果对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了；但已知一个函数的定义域和值域，对应法则却不唯一．今知一个函数的定义域和值域均为[－1，4]，试用解析法写出两个满足这样条件的函数，并根据所写解析式和已知定义域对值域进行验证．
63．若一系列函数的解析式相同，值域相同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数的解析式为y?x ，值域为{1,4}的“同族函数”共有 个．
64．设?、?是关于x的方程x?2(m?1)x?m?1?0的两个不相等的实根(m?R)，又
22y??2??2，求y?f(m)的定义域及解析式．你能画出y?f(m)的图象吗？若能，请根
据图象说出f(m)的值域．
65．若实数x，y满足x?4y?4x，求s?x?y的取值范围.
266．已知函数y?x?4ax?2a?6,a?R，若y?0恒成立，求函数f(a)?2?a|a?3|
2222的值域
267．已知二次函数f(x)?ax?bx(a,b是常数，且a??0)满足条件：f(2)?0且方程
f(x)?x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)问是否存在实数m,n(m?n)使f(x)的定义
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域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]，如存在，求出m,n的值，如不存在，说明理由． 的值域．
68．根据定义在区间[?2，1]上的函数f(x)的图象，
?f(?x)，x?0?，x?0的图象，并求g(x)的定义域与值域． 作出g(x)??0??f(x)，x?0?
知识点
定义： 定义域：
函数的概念
值域： 解析式： 图象：
函数的图象
图象变换： 实际问题 综合问题 探究问题 四、 学习心得
五、 拓展视野
函数定义溯源
函数是数学中最基本、最重要的概念之一.在古代数学中已经知道一大类特殊的函数关系并加以系统研究，但函数中变量依赖的思想并没有明显地表达出来，函数也不是独立的研究对象.函数概念的雏形在中世纪才开始出现在科学文献中，与解析几何学的产生有密切联系.
在14世纪，法国数学家奥雷姆用图线表示依时间t而变化的量x，并称t为“经度”，x为“纬度”，在平面上建立了点与点的对应.在16世纪，英国数学家哈理奥特用直角坐标的概念求出曲线的代数方程.后来费马取两相交直线，并以到两直线的距离来规定点的位置，从而导出圆锥曲线的方程.1637年，笛卡儿出版了《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，在其著名的附录《几何学》中，他引入了变量的思想，称一些量为“未知和未定的量”， 但他没有使用“变量”这一术语（在数学上最早使用“变量”这个词的是约翰·贝努利）.笛卡儿把变量引入了数学，他指出了平面上的点与实数对（x，y）之间的对应关系.当动点作曲线运动时，它的x坐标和y坐标相互依赖并同时发生变化，其关系可由包含x、y的方程式给出.相应的方程式揭示了变量x和y之间的关系.以上这些工作都孕育了函数的思想.
“函数”作为数学术语是莱布尼茨首先采用的.他在1692年的论文中第一次提出函数这
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题号 注意点
比较函数的初中、高中定义，理解函数
的本质，学会求函数定义域、值域、解析式的方法.
会作函数的图象，利用图象与图象变换解决相关问题，注意运用数形结合思想.
注意自变量的实际意义，函数在实际问题中的应用.
各知识点的联系 灵活运用函数知识
一概念，但其含义和现在不同.他起初用函数一词表示x的幂（即x，x，x，…），后来他又用函数一词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量.现在一般把莱布尼茨引用的函数概念的最初形式看作是函数的第一个定义.把函数理解为幂的同义语，可以看作是函数概念的解析起源；用函数表示某些几何量，可以看作是函数概念的几何起源.
随着数学的发展，函数的定义不断地改进和明确.历史上的每一个阶段，函数都有它相应的定义.
约翰·贝努利（1718）：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以一定方式构成的一种量”.
18世纪，欧拉曾先后给出函数的三种定义：
1．将函数定义为“解析表达式”.他在1748年写道：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的”.
2．将函数定义为“由曲线确定的关系”：“在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”.
3．将函数定义为“变量之间的依赖变化”.1755年他说：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数”.
拉格朗日（1797）：“所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量以任意方式出现在表达式中.表达式中可以有（也可以没有）其他一些被视为具有给定和不变的值的量.因此，在函数中，我们仅考虑那些假定是变化的量而不去关心可能包含在其中的常数……一般地，我们用字母f或F放在一个变量的前面以表示该变量的任意一个函数，即表示依赖于这个变量的任何一个量，它按照一种给定的规律随着那个变量一起变化.”
傅立叶（1822）：“一般地，函数f（x）代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的.对于无限多个给定的横坐标x的值，有同样多个纵坐标f（x）.所有的纵坐标都有具体的数值，或是正数，或是负数，或是零.我们不假定这些纵坐标要服从一个共同的规律，它们以任意一种方式一个接一个地出现，其中的每一个都像是作为单独的量而给定的.”
柯西（1823）：“如果在一些变量之间有这样的关系，使得当其中之一的值被给定时，便可得出其他所有变量的值.此时，我们通常认为这些变量由它们之中的一个表出，于是这一个量被称为独立变量，其他被独立变量所表示的量就被称为这个变量的函数.”
罗巴切夫斯基（1834）：“函数的一般概念要求x的函数是一个数，它对每一个x是给定的并逐渐地随x变化.函数的值可以这样给出，或者用一个解析表达式或者用一个条件，使它能给出试验所有数的方法并选定其中之一；或者最后，存在一种依赖性，它的具体形式不必知道.”
狄利克雷（1837）：“让我们假定a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值.于是，如果对每个x，有唯一的一个有限的y以如下方式与之对应：即当x连续地通过区间到达b时，y=f（x）也类似地顺序变化，那么y被称为该区间中x的连续函数.而且，完全不必要求y在整个区间中按同一规律依赖于x，确实没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系.按几何概念讲，x和y可想象为横坐标和纵坐标，一个连续函数呈现为一条连贯的曲线，a和b之间的每个横坐标，曲线上仅有一个点与之对应.”
黎曼（1851）：“我们假定Z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值.若对它的每一个值，都有未定量W的唯一的一个值与之对应，则称W为Z的函数……”
汉克尔（1870）：“f（x）称作x的一个函数，如果对于某个区间内的每一个x的值都有唯一的和确定的f（x）的一个值与之对应.而且，f（x）从何而来，如何确定，是否由量的解析运算或其他什么方式得到，这些都无关紧要，所需的只是f（x）的值在各处都是唯一
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确定的.”
戴德金（1887）：“系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象，它被称为s的映象，记作φ（s）.我们也可以说，φ（s）对应于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而产生或导出；s经映射φ变换成φ（s）.”
皮亚诺（1911）：“函数是一种特殊的关系.根据这种关系，变量的每一个值都对应着唯一的一个值.一个函数是一个关系u，使得当两对数y；x和z；x（第二个元素相同）满足u时，必然有y=z，无论x，y，z可能是什么.”
凯里（1917）：“一般而论，两类数之间的一个对应可称作一个函数关系，如果第一类中的每一个数都有第二类中的一个数与之对应.跟第一类中的数相应的变量称为独立变量，跟第二类中的数相应的变量称为应变量.因此，我们可以说，独立变量和应变量之间存在一个函数关系，或像通常所说，称应变量是独立变量的函数……”
库拉托夫斯基（1921）：“集合（a，b）={{a}，{a,b}}称为一个序偶.设f是一个序偶的集合，如果当（x，y）∈f且（x，z）∈f时y=z，则f称为一个函数.”
布尔巴基（1939）：“设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同.E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它与x满足给定的关系.”
我国“函数”一词，是清代数学家李善兰在《代微积拾级》中最先使用的.这本书把函数定义为：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里的“函”是包含的意思.这定义大致相当于欧拉的解析表达式定义，在一个式子中“包含”着变量x，那么这个式子就是x的函数.
19世纪70年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.如果集合A，B都是非空的数集合，那么A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.这是新课程实施前人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书上的定义.我们目前使用的是江苏教育出版社出版的普通高中课程课程标准实验教科书，先讲函数，再讲映射，因此函数定义为：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数.
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