x -1 0 1 2 3 y 0 -3 -4 -3 0 根据函数的图象(如右图)知，函数的值域为[?4,0). (3)∵?2?x??1，∴?1?1x??12(这一步可考察函数 y?1x在区间(?2,?1)上的图象得到)， ∴?112?2x??14, ∴函数的值域为[?112,?4).
(4)将x??1,0,1,2一一代入,可得函数的值域为{3,2,6}．
(5)y?x4?2x2?1,令t?x2,则t?0．
∴y?t2?2t?1?(t?1)2?2, ∵区间[0,??)在t??1右侧, ∴t取0时,y取最小值-1, ∴函数的值域为[?1,??)． (6)令t?x?1,则t?0, x?t2?1．
∴y?t2?1?t?(t?1)2?524(t?0)．
∵区间[0,??)在t??12右侧,
∴t取0时,y取最小值-1, ∴函数的值域为[?1,??)． (7)(法一)令t?x(t?0),y?t?1t?1?1?2t?1, ∵t?0,∴t?1?1,
∴0?1t?1?1, ∴?2??2t?1?0, ∴?1?1?2t?1?1， ∴函数的值域为[?1,1)．
48
(法二)由原函数解析式得， |x|?y?1， 1?y又∵|x|?0，∴
y?1?0， 1?y解得，?1?y?1， ∴函数的值域为[?1,1)．
点评：值域是一切函数值的集合，因此，求函数值域的基本方法是由函数的定义域即x的取值范围，通过恒等变形一步一步得到函数值y的取值范围，这种方法我们通常称为“不等量分析法”．本例的(1)、(3)都是利用这种方法得到的．(2)是利用函数的图象求函数的值域，这种方法称为“图象法”．本例(5)的结构特征比较明显，通过换元很容易转化成二次函数问题，本例(6)是无理函数，且根式内外都是一次式，也可以通过换元转化成二次函数问题，本例(7)可通过换元转化成不带有绝对值符号的函数，通过不等量分析法求解．这几个问题是常见的利用换元法求值域的问题． 而(7)的方法二，通过考虑x的取值范围来约束y的取值范围．这种求函数值域的方法称为“反表示法”，它适用于求能反解出自变量x或者含有x的某个表达式的函数的值域．
例6 (1)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]?9x?8，试求f(x)解析式；
(2)已知二次函数f(x)图象的顶点是(?2,?3)，与x轴的两个交点间的距离为6，求该二次函数的解析式；
(3)已知f(2x?1)?1，求f(x)．
2x?2x?1分析：题(1)可以先假设f(x)?ax?b(a?0),然后通过已知条件将系数a,b求出；题(2)也可用待定系数法，利用顶点式或两点式求解．本例(3) 用整体的观点看这个问题 解：(1)∵f(x)是一次函数, ∴可设f(x)?ax?b(a?0)． ∴f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?ax?ab?b, 又∵f[f(x)]?9x?8
2?a2?9?a?3?a??3 ∴?，解得?或?，
?ab?b?8?b?2?b??4 ∴f(x)?3x?2或f(x)??3x?4．
(2)由题意得：函数图象与x轴交点为(?5,0),(1,0),故设f(x)?a(x?5)(x?1)．
49
又函数图象过点(?2,?3),则?3?a(?2?5)(?2?1),解得a? ∴f(x)?1． 31145(x?5)(x?1),即f(x)?x2?x?． 3333(3)把2x?1看作一个整体,就得到f(2x?1)?1(2x?1)?2x?1?1,
立即就可以得到f(x)?1．这就是“配凑”法．
x?x?1点评：一次函数和二次函数是最基本也是最重要的函数模型，求解这些函数的解析式的最基本的方法是待定系数法，这取决于它们解析式的结构特征．对于二次函数，解析式的设法一般有多种形式(例如一般式，两点式，顶点式等)，应根据条件灵活地选用适当的形式． 例7 某洗衣店，每洗一次衣服(4．5kg以内)需要付费4元，如果在这家店洗衣10次， 则其后可以免费洗一次．如果某人在这家店洗了15次， 洗衣次数n 5 9 10 11 15 (1)根据题意填写表格，并用图象法将洗衣费用表示
洗衣费用c 成洗衣次数的函数；
(2)写出当n?15时函数的解析式，并求其值域．
分析：由题意10次以内每次4元，10次以外可优惠一次，故是分段函数，分别写出表达式． 解：(1)空格依次填入：20,36,40,40,56；
图象为五个点((5,20),(9,36),(10,40),(11,40),(15,56)),图略．
(2)函数的解析式为y???4n(1?n?10,n?N),
?4(n?1)(10?n?15,n?N), 值域为{4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56}．
点评：本例是离散型的分段函数的一个实际应用，解决此类问题的关键是读懂题意，理清一些量之间的关系．
例8 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠方法：(Ⅰ)买一只茶壶赠送一只茶杯；(Ⅱ)按总价的92%付款．
某顾客购茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若购买茶杯数为x(只)，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠方法中y与x间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯，两种方法哪一种更省钱． 分析： 解决此问题的关键是要建立两种优惠办法的函数关系式，然后比较当x取相同值时，哪种函数的函数值小，则哪种优惠办法最省钱．
解： 优惠办法(Ⅰ)：y1?4?20?5(x?4),即y1?5x?60(x?4)． 优惠办法(Ⅱ)：y2?(5x?20?4)?92%,即y2?4.6x?73.6(x?4)． 令g(x)?y1?y2?0.4(x?34)(x?4)．
当4?x?34时,g(x)?0,即y1?y2,此时优惠办法(Ⅰ)省钱； 当x?34时,g(x)?0,即y1?y2,此时两种优惠办法同样省钱；
50
当x?34时,g(x)?0,即y1?y2,此时优惠办法(Ⅱ)省钱．
点评： 本例也是一个比较容易的实际应用问题，值得注意的是解题的规范，应用问题的一般解决步骤是：建立函数模型，解决函数模型，回归到实际问题中去．一般来讲，应用问题需要一些必要的文字说明，以便于有条理地表达．
例9 (1)已知函数f(x)?x2?2x，在同一直角坐标系中画出f(x)，f(x?1)，f(x?1)，
f(x)?1，f(x)?1的图象，从中你能发现什么规律？
11的图象可以由y?的图象经过怎样的变换而得到？ x?2x3x?5 (3)试作出函数f(x)?的示意图．
x?2 (2)函数y?3?分析：(1)可先求出各函数的解析式；(2)可用描点法作出函数图象,也可根据(1)的结论；(3)f(x)?3x?5?1?3?． x?2x?2解：(1)
通过观察上面的图象,我们可以发现：
2 f(x?1)的图象是有f(x)?x?2x的图象向右平移1个单位得到的； 2 f(x?1)的图象是有f(x)?x?2x的图象向左平移1个单位得到的； 2 f(x)?1的图象是有f(x)?x?2x的图象向下平移1个单位得到的； 2 f(x)?1的图象是有f(x)?x?2x的图象向上平移1个单位得到的．
(2)函数y?3?11的图象可以由y?的图象先向左平移2个单位,再将所得的 x?2x图象向上平移3个单位得到． (3)f(x)?13x?5?1?3?．因此,f(x)的图象可由y??的图象先向左平移 x?2x?2x2个单位,再向上平移3个单位得到．示意图如下：
51
点评：平移变换是函数图象变换中最简单最基本的变换，它的变换规律应该掌握．利用图象的平移变换可以根据基本函数的图象作一些非基本函数的示意图,便于我们研究函数的一些简单性质．
例10 (1)已知函数f(x)?2x?1，分别求作f(|x|)，|f(x)|的图象, 从中你能发现什么规律？
(2)已知函数y?f(x)(x??2)的图象，分别画出
y?f(|x|)和y?|f(x)|的图象．
分析：(1)可以把f(|x|)，|f(x)|具体的解析式先求出来,然后
作出图象,求解析式时注意分类讨论．(2)可以根据(1)所得出的规律作图．
1?2x?1(x??),??2x?1(x?0),?2|f(x)|??解： (1)f(|x|)??
1??2x?1(x?0),??2x?1(x??).?2?
通过图象,我们可以发现f(|x|)的图象是在f(x)的图象基础上保留y轴上及y轴 右侧的图象,去掉左侧的图象,再把y轴右侧的图象对称到左侧,|f(x)|的图象是在
52