确定的.”
戴德金（1887）：“系统S上的一个映射蕴含了一种规则，按照这种规则，S中每一个确定的元素s都对应着一个确定的对象，它被称为s的映象，记作φ（s）.我们也可以说，φ（s）对应于元素s，φ（s）由映射φ作用于s而产生或导出；s经映射φ变换成φ（s）.”
皮亚诺（1911）：“函数是一种特殊的关系.根据这种关系，变量的每一个值都对应着唯一的一个值.一个函数是一个关系u，使得当两对数y；x和z；x（第二个元素相同）满足u时，必然有y=z，无论x，y，z可能是什么.”
凯里（1917）：“一般而论，两类数之间的一个对应可称作一个函数关系，如果第一类中的每一个数都有第二类中的一个数与之对应.跟第一类中的数相应的变量称为独立变量，跟第二类中的数相应的变量称为应变量.因此，我们可以说，独立变量和应变量之间存在一个函数关系，或像通常所说，称应变量是独立变量的函数……”
库拉托夫斯基（1921）：“集合（a，b）={{a}，{a,b}}称为一个序偶.设f是一个序偶的集合，如果当（x，y）∈f且（x，z）∈f时y=z，则f称为一个函数.”
布尔巴基（1939）：“设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同.E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它与x满足给定的关系.”
我国“函数”一词，是清代数学家李善兰在《代微积拾级》中最先使用的.这本书把函数定义为：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里的“函”是包含的意思.这定义大致相当于欧拉的解析表达式定义，在一个式子中“包含”着变量x，那么这个式子就是x的函数.
19世纪70年代，康托的集合论出现之后，函数便明确地定义为集合间的对应关系：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.如果集合A，B都是非空的数集合，那么A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.这是新课程实施前人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书上的定义.我们目前使用的是江苏教育出版社出版的普通高中课程课程标准实验教科书，先讲函数，再讲映射，因此函数定义为：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数.
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