解: (1)由转动定律，有
mg11?(ml2)?23??
∴
3g2l
(2)由机械能守恒定律，有
3gsin?l1122??mgsin??(ml)?l223∴
2-29 如题2-29图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，
它原来静止在平衡位置上．现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞．相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处．?
(1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速0的值；?
(2)相撞时小球受到多大的冲量?? 题2-29图
v
解: (1)设小球的初速度为0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
vmv0l?I??mvl ①
121212mv0?I??mv222I?上两式中大角度?
②
12Ml3，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最
?30o，按机械能守恒定律可列式：
12lI??Mg(1?cos30?)22 ③
由③式得
由①式
v?v0????(1?cos30?)???(1?)?2??I??lI?2I?22ml
?Mgl?12?3g3?12
④ 由②式
v?v0?m
⑤
I?212)?v0??2mlm 所以
l?Il1Mv0?(1?2)?(1?)?223mml(v0??求得
6(2?33m?M12mgl
(2)相碰时小球受到的冲量为
由①式求得
?Fdt??mv?mv?mv0
?Fdt?mv?mv0????6(2?3)M6负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反．
I?1??Ml?l3 gl
题2-30图
2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．?
(1)问它能升高多少??
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能．? 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 设碎片上升高度h时的速度为v，则有 令v
v0?R?
2v2?v0?2gh
?0，可求出上升最大高度为
2v0122H??R?2g2g
I?(2)圆盘的转动惯量
11MR2I??MR2?mR222，碎片抛出后圆盘的转动惯量，碎片脱离前，盘的
角动量为I?，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响系统的总角动量，碎片与破
盘的总角动量应守恒，即 式中??为破盘的角速度．于是
I??I????mv0R
得????(角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为
11MR2??(MR2?mR2)???mv0R22 11(MR2?mR2)??(MR2?mR2)??22
1(MR2?mR2)?2
转动动能为
Ek?题2-31图
11(MR2?mR2)?222
2-31 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动．另一质量为的子弹以速度0射入轮缘(如题2-31图所示方向)．
(1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值?
m0v(2)用m,
m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比．
Rsin?m0v0?(m?m0)R2?
解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒
??∴
m0v0sin?(m?m0)R
mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02(2)
-1
2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N2m；定滑轮的转动惯量是
2
0.5kg2m，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有
121212mv?I??kh222
又 ??v/R
mgh?v?故有
(2mgh?kh2)k2mR2?I
?(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.326.0?0.32?0.5m?s?1
?2.0
题2-32图 题2-33图
2-33 空心圆环可绕竖直轴度为
AC自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为I0，环半径为R，初始角速
?0．质量为m的小球，原来静置于A点，由于微小的干扰，小球向下滑动．设圆环内壁是光滑的，
问小球滑到B点与C点时，小球相对于环的速率各为多少?
解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至B点时，有
I0?0?(I0?mR2)? ①
该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为
vB，以B点为重力势能零点，则有
11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222 ②
联立①、②两式，得
22I0?0RvB?2gR?I0?mR2
(2)当小球滑至C点时，∵故由机械能守恒，有
Ic?I0 ∴?c??0
mg(2R)?∴ c请读者求出上述两种情况下，小球对地速度．
1mvc22
v?2gR
习
3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动．当它们的坐标原点O与O?重合时，t=t?=0，发出一光波，
此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程． 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波．波阵面方程为：
x2?y2?z2?(ct)2x?2?y?2?z?2?(ct?)2
题3-1图
3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l．试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差．
l?,t1?)?(l,)(x1?c，在车站(S)系： 解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S)系时空坐标为ulu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?)t1??(t1cccc cl?,t2?)?(?l,)(x2?c，在车站(S)系： 光信号到达后门为事件2，则在车厢(S)系坐标为
u?lu??2x2?)?(1?)t2??(t2cc c?lut2?t1??22c 于是
??x2??2l ?t??0,?t?t1?t2,?x??x1或者
?t??(?t??
uu??x)??(2l)c2c2
-4
3-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为
x1=6310m,t1=2310
4
s，以及
x2=12310m,t2=1310
4
-4
s．已知在S′
系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2)
隔是多少? 解: 设(SS?系中测得的两事件的空间间
?)相对S的速度为v，
(1)
???(t1?t1vx1)c2???(t2?t2
vx2)c2
由题意
??t1??0 t2v(x2?x1)2c则
t?tcv?c221????1.5?108x2?x12m?s?1 故
t2?t1?(2)由洛仑兹变换
???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) x1??x1??5.2?104m x2′
代入数值， 3-4 长度
l0=1 m?的米尺静止于S′系中，与x轴的夹角?'=30°，S′系相对S系沿x轴运动，在S系
中观测者测得米尺与x轴夹角为?长度．
?45?． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺
?,y?轴上的投影分别为：
解: (1)米尺相对S?静止，它在x?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx，y
米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而
变，即
y方向的长度不
v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc
LyL?L?yytan????LxLxv2?1?2Lxc 故
?,L?y??45οLx把
及
代入
v20.51?2?0.866c则得
故 v?0.816c
(2)在S系中测得米尺长度为
sin45? ll3-5 一门宽为a，今有一固有长度0(0＞a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运
L?Ly?0.707m动．若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少?
ul?l01?()2c解: 门外观测者测得杆长为运动长度，ua?l01?()2c
，当1?a时，可认为能被拉进门，则
解得杆的运动速率至少为：
au?c1?()2l0
3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的
初始距离是20m，则O?测得两者经过多少时间相遇?
解: O测得相遇时间为?t
题3-6图