Ek?解:
m0c2v21?2c?m0c2
所以 由上式，
m0c2v211?2??c1?Ek/m0c2Ek?m0c2
m0c22v?c1?()m0c2?Ek?c1?(0.51?106)2/(0.511?106?2.8?109)2?2.9979245?10m?s
c?v?2.997924580?108m?s-1?2.9979245?108?8 m?s-1
22224E?pc?mc可得 0由动量能量关系
8-1
p?24E2?m0cc?24(Ek?m0c2)2?m0cc?Ek2?2Ekm0c2c1?382
?[(2.82?1018?2?2.8?109?0.511?106)?1.62?10?1.49?10?18kg?m?s?13-22
2氢原子的同位素氘(1]/3?108
He)原子核和一个中子
34H)和氚(1H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(23H + 1H
4?→210He + n
120(n)，并释放出大量能量，其反应方程为1-27
?已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位＝1.600310kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位．求上述聚变反应释放出来的能量． 解: 反应前总质量为2.0135?3.0155?5.0290amu
反应后总质量为4.0015?1.0087?5.0102amu
?29?3.12?10kg ?m?5.0290?5.0102?0.0188amu质量亏损 ?
2?298?21???E??mc?3.12?10?3?10?2.81?10J
由质能关系得?
2?1.75?107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c．求裂变过程的静质量亏损和
释放出的动能．
解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损． 设裂变产生两个粒子的静质量分别为10和20，其相应的速度1,2 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有
mmv?0.6cv?0.8c?v2?0
??m1v1?m2v2?m10v121?2cm10?v1?m202v21?2cm1?m2?1?注意
vc212?m201?vc222?m0
m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以
v1?0.6c,v2?0.8c代入，将上二方程化为：
m10m2068??m0m10?m200.686，0.8
上二式联立求解可得：
m10?0.459m0, m20?0.257m0
故静质量亏损
?m?m0?(m10?m20)?0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放
m22?E??mc?0.284mck0出的动能为?
3-24 有A，B两个静止质量都是0的粒子，分别以1=v,
碰撞后合并为一个粒子．求碰撞后粒子的速度和静止质量． 解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：
vv2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性
，于
m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为Vm1v1?m2v2?MV ① m1?m2?M ②
v?v1?()21?()2cc由于
代入①式得 V?0
2m0M?m1?m2v1?()2c，即为碰撞后静止质量．
3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径．
m1v1?m2v2?m0v?m0(?v)?0
解: 史瓦西半径
rs?2GMc2
24M?6?10kg
地球：
2?6.7?10?11?6?1024rs??8.9?10?3m82(3?10)则：
30M?2?10kg
太阳：
2?6.7?10?11?2?10303rs??3?10(3?108)2则： m
3-26 典型中子星的质量与太阳质量M＝2310kg?同数量级，半径约为10km．若进一步坍缩为黑洞，
30
⊙
其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，
?15r?10cm ?10?17m (2) s-15
级?
rs?3?10m
3由
rs?2GMc2
rsc210?17?(3?108)29M???6.7?10kg 2G2?6.7?10?11得
3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证．
解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理．
等效原理又分为弱等效原理和强等效原理．弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验
都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效．
广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同．
广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等．
习题四
4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动；
(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短)．
题4-1图
解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用
d2???2??0 2dt描述时，其所作的运动就是谐振动．
(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线 性回复力．
(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所示．题 中所述，?S＜＜R，故???SR→
0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
d2?mR2??mg?
dt令?2?g，则有 Rd2?2???0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
题4-2图
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F
?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为
K串等效位移为x，则有
F??k串xF1??k1x1F2??k2x2
又有 x?x1?x2
FFFx??1?2k串k1k2
所以串联弹簧的等效倔强系数为
k串?动．其振动周期为
k1k2k1?k2
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振
T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F数为k并，则有
?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系
k并x?k1x1?k2x2
故 k并同上理，其振动周期为
?k1?k2
T??2?mk1?k2
4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
题4-3图
解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2xmgsin??T1?m2 ①
dtT1R?T2R?I? ②
d2x?R? T2?k(x0?x) ③ dt2式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 Id2x(mR?)2??kxR
RdtkR22令 ?? 2mR?I则有
d2x2??x?0 2dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
mR2?Im?I/R2T??2?(?2?)
?KkR22?4-4 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?)3(SI)的规律作谐
振动，求：
(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；
(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；
?t??0)，则知： 解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3
?4?1?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s
am??2A?63.2m?s?2
(2)
Fm?am?0.63N
12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J
2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep，
12112kx??(kA) 22222∴ x??A??m
220 (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32? 4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0即 时质点的状态分别是：
(1)x0??A； ?(2)过平衡位置向正向运动；
A处向负向运动； 2A(4)过x??处向正向运动．
2(3)过x试求出相应的初位相，并写出振动方程．
?x0?Acos?0解：因为 ?
v???Asin?0?0将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
2?x?Acos(t??)
T32?3?2??x?Acos(t??)
2T2?2???3?x?Acos(t?)
3T35?2?5?4?x?Acos(t??)
4T4?34[-6 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：
?1??