(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．
?2解：由题已知 A?24?10m,T?4.0s
2?∴ ???0.5?rad?s?1
T又，t?0时，x0??A,??0?0
故振动方程为
x?24?10?2cos(0.5?t)m
(1)将t?0.5s代入得
x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m
F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3
方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，
A?t?t时 x0??,且v?0,故?t?
23????2∴ t??/?s
?323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的
?1小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度v0?5.0cm?s，求振
E?动周期和振动表达式．
m1g1.0?10?3?9.8?1??0.2N?m解：由题知?k? ?2x14.9?10而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正)
?k0.22???5,即T??1.26s ?3m?8?10v2A?x0?(0)2又 ???5.0?10?22?(1.0?10)?()5?22
?2?10?2mv05.0?10?25?tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?54
∴ x5?2?10?2cos(5t??)m
44-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．
题4-8图
3?0时，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s
22?即 ????rad?s?1
T3故 xa?0.1cos(?t??)m
2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0? ,v0?0,??0?23?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2??
255又 ?1???1????
325∴ ???
655?故 xb?0.1cos(?t?)m
634-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高
解：由题4-8图(a)，∵t度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动． (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大?
(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．
解：(1)空盘的振动周期为2?Mk，落下重物后振动周期为2?M?mk，即增大．
(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，t即
?0时，则x0??mgk．碰撞时，以m,M为一系统动量守恒，
m2gh?(m?M)v0
则有 v0?于是
m2ghm?M
mg2m22gh2A?x?()?()?()?k(m?M)20v02
?mg2kh1?k(m?M)g（3）tan?0??v0?x0?2kh(M?m)g (第三象限)，所以振动方程为
?k2kh?cos?t?arctan?
m?M(M?m)g???34-10 有一单摆，摆长l?1.0m，摆球质量m?10?10kg，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水
mg2khx?1?k(m?M)g平向右的冲量F?t?1.0?10?4kg?m?s?1，取打击时刻为计时起点(t?0)，求振动的初位相和角振
幅，并写出小球的振动方程．
解：由动量定理，有
F??t?mv?0
F??t1.0?10?4∴ v???0.01m?s-1 ?3m1.0?10?1按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知t?0时，x0?0,v0?0.01m?s ＞0 ∴ ?0?3?/2
g9.8??3.13rad?s?1 l1.0v02v00.012?3A?x?()???3.2?10m ∴ 0??3.13又 ??故其角振幅
??小球的振动方程为
A?3.2?10?3rad l32??3.2?10?3cos(3.13t??)rad
4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．
?6，
题4-11图
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2
?0.01∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则
2A2?A12?A2?2A1A2cos?
2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即 2A1A22?0.173?0.1
?0即???2，这说明，
A1与A2间夹角为
??，即二振动的位相差为. 224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm1?1?33(1) ? (2)?
7?4??x2?5cos(3t??x2?5cos(3t?)cm)cm33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,
33∴合振幅 A?A1?A2?10cm
4??(2)∵ ??????,
33∴合振幅 A?0
4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ ??5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m
??5?Asin?1?A2sin?266?3
tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴ ??
60.4?sin?0.3sin其振动方程为
?x?0.1cos(2t?*
?6)m
(作图法略)
4-14 如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为
x?6cos2?tcm，求y方向的振动方程．
题4-14图
解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为振动位相差为
?3?或22；又，轨道是按顺时针方向旋转，故知两分
??.所以y方向的振动方程为y?12cos(2?t?)cm 22
习题五
5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?
解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即(2)在谐振动方程
y?f(x,t)．
y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位
移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．
xy?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振当谐波方程
动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线曲线
y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动
一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻
的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程y=Acos［?(
y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每
t?xxu)+?0］中的u表示什么?如果改写为y=Acos (
?t??xu??0)，
?x又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［?(
什么?
ut?xu)+?0］的值不变，由此能从波动方程说明
?x解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为
u则表示x处质
则tyt?Acos(?t??xu??0)??t时刻的波动方程为
yt??t?Acos[?(t??t)??(x??x)u??0]
)?tx?u?txtu其表示在时刻，位置处的振动状态，经过后传播到处．所以在中，当t，x?x(?t?)u的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形即向前传播了?x?u?t的距均增加时，
?xy?Acos(?t???0)u离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．
5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这
样的特点?
解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为
(?t??xy?f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为?y/?x.波动势能
则是与?y/?x的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处?y/?x?0)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．