?t?O? 测得的是固有时?t?
?tL020?v0.6c
v?0.6c10.8 ，
L01??2?t????8.89?10?8s?v∴
或者，O?测得长度收缩，
??
??
L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??Lv
0.8L00.8?20??8.89?10?8s80.6c0.6?3?10
3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为
?t??4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： ?(1) S?相对于S的运动速度．
?(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离． 解: 甲测得?t??x1?′ ?4s,?x?0,乙测得?t?5s，坐标差为?x??x2?t???(?t?v?x)???t2c1v1?()2c?t
(1)∴
?
解出
v2?t41?2???t?5 cv?c1?(?t243)?c1?()2?c?t?55
?1.8?108 m?s?1
?t?5?x?????x?v?t?,???,?x?0?t4(2) 53?x????v?t???c?4??3c??9?108m45∴
??0． x??x1负号表示23-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
3l??3?l01??2?51??2,则?1??25解:
v?1?∴
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．
94c?c255
A、B事件在a,b处同时发生，则?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测得
v??t??t??t??(?t??x)BA2c
? ?t?0,?x?0，
?t??0 ∴
证: 设在S系即不同时发生．
3-10 试证明：
?(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
?(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
A、B在同一地点发生，则?x??0，在S系中，?t???t???t?，
仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．
??(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x??x，仅当v?0时等式成立，∴
S?系中?x?最短．
解: (1)如果在S?系中，两事件
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少?
0.地球为S系，则有运动时1解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期，这里1不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考虑因飞行远离信号的传
?t????t???t??tv?t1递时间，c
v?t1v???t????tcc∴ ′ v???t?(1?)c
11???0.8c20.61?()c
?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则
0.50.3???0.1666s11.8(1?0.8)0.6
?t??t1?-6
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2310s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．
?6?t?2?10s是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨0?解: 介子在其自身静止系中的寿命
胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
?t?这段时间飞行距离为d因d?t0v21?2c?3.16?10?5s
?v?t?9470m
?6000m，故该?介子能到达地球．
或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在
?t0时间内，地球接近的距离为
d??v?t0?599m
d??d0d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：0v21?2?379m?d??d0c，故?介子能到达地球．
3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理，u?0.8c,v?x?0.8c
v??u0.8c?0.8cvx?x??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c∴
3-14 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔
的时间间隔为多少?
解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则对S系的速度为u
x?0.8c，S?系A对S?系的速度v??0.6c，则A对S系(B船)的速度为
v?0.8c?0.6cx?u??0.946c?uv1?0.481?2xc
?发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t?2s，
vx?题3-14图
?t?∴B中测得的时间间隔为：3-15 (1)火箭
?t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s
A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的
速度．(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度． 解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度vx?0.8c，则A相对S?(B)的速度为：
vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946cu(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2
v??0.6c，于是B相对A的速度为：
或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度xv?x?vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2
(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度u??0.6c，A对
vx?0vy?0.8cSABv?x?系的速度为,
,
,由洛仑兹变换式
相对
的速度为：
v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc
u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc
∴
A相对B的速度大小为
2?2v??v?x?vy?0.88c
速度与x?轴的夹角??为
tan???v?yv?x?1.07
???46.8ο
题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为
vx?ccos60ο?0.500c
vy?csin60ο?0.866c由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为
v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
u21?2vy1?0.62?0.866ccv???0.990cy?u0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
光子运动方向与x?轴的夹角??满足
v?ytan?????0.692?vx
??在第二象限为???98.2ο
22??v??v?v?cxy?在S系中，光子的运动速度为 正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，
又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(11?0.1211?vc22?1)
?9.1?10?31?(3?108)2( (2)
?1)?4.12?10?16 J=2.57?103eV
??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2(1222?5.14?10?14v1?cJ?3.21?105eV
?1v1?c212)?9.1?10?31?32?1016(11?0.92?11?0.82)3-18
平均寿命?= 7310s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
-6
?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命?0=2310
-6
s，若它在实验室参考系中的
解: 设?子静止质量为m0，m相对实验室参考系的速度为v??c，相应质量为m，电子静止质量为0e，
???01??2,即11??2?因
由质速关系，在实验室参考系中质量为：
?7??02m?
m01??2?207m0e1??2
m2077??207??7252m0e21??故
3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为
m0，运动质量为m，
m0m?m0m??0.1021??m0由题设
1由此二式得
1??2?1?0.10
1??2?∴
11.10
在运动方向上的长度和静长分别为l和
l0，则相对收缩量为：
?ll0?3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度
-31
是多少?已知电子的静止质量为9.1310kg．
l0?l1?1?1??2?1??0.091?9.1%l01.10
?m?E0.4??2m100mc00解: 由质能关系
0.4m0c2?E??0.4?9.1?10?31?(3?108)2/100100∴
?3.28?10?16所需电势差为2.0?10伏特
由质速公式有：
33.28?10?16?eVJ＝1.6?10?19?2.0?103eV
1??2?m0m0??mm0??mvc111???m0.41.0041?1?m0100
?2?()2?1?(∴
12)?7.95?10?31.0047-1v??c?2.7?10m?s故电子速度为
3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能
EK＝2.8310eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一
9
个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为
E0＝0.511310eV?)
6