部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落 A．50m B．100m C．160m D．200m
地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( ) 3.如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小
123123123123A．y=-x+x+1 B.y=-x+x-1 C.y=-x-x+1 D.y=-x-x-1 正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（ ） 44444444三、例题分析
例1一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．
(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元．
(2)求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．
(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）3年销售量．
四、巩固练习
1.西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管
1
的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图
2
A． B． C． D．
4. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图）. （1）根据图象，求出一次函数的解析式； （2）设公司获得的毛利润为S元.
①试用销售单价x表示毛利润S；
②请结合S与x的函数图象说明：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时销售量是多少？
5.一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
1225
y=- x+x+，铅球运行路线如图.
1233
（1）求铅球推出的水平距离；
（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.
y32
所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） 112121212
A．y=-(x-)+3 B．y=-3(x+)+3 C．y=-12(x-)+3 D．y=-12(x+)+3 O22222.某公园草坪的防护栏由100段形状
相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段 护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护 栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需 要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
2 第2题图
1x
第四章 图形与证明
§4.1 平面图形的认识、三角形
一、知识要点
平面图形的认识（点、线、面、角有关概念，图形的平移，直线平行条件和性质）；三角
第1题图
0.5 0.4 21
形的有关概念. 二．课前演练
1
1．已知线段AB，反向延长AB到C，使AC=BC，D为AC中点，若CD=2cm，则AB= cm.
32．已知∠α的补角是130，则∠α= 度．
3．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组
成的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下图能说明∠1＞∠2的是( )
2 ) ) 0
2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，
则∠CAP=_______°．
3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE沿DE折叠，
点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1=______°． 4．不一定在三角形内部的线段是（ ）
1 ) 1 2 ) 1 C.
) 1 ) 2 B.
2 D.
A.
三、例题分析
例1 如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
ABCED A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线 5．如图，三角形纸片ABC中，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内. A（1）若∠A=65°，∠B=75°，∠1=20°，求∠2的度数．
2（2）若∠C=n°，求∠1+∠2的度数． C1
B
6．如图1，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．试解答下列下列问题: (1)求证：∠P=90°．
(2)如图2，过上述点P任作一直线分别交AB、CD于点G、H，PG与PH有何关系，为
什么?
(3)如图3，以上述的点P为圆心作⊙P切AB于点M，则①EF、CD与⊙P有何位置关系？说说你的理由．②若EM=5cm，EF=13cm，求⊙P的半径．
AEPFC图1例2 如图，∠ACD是△ABC的外角，?ABC的平分线与?ACD的平分线交于点A1，
?A1BC的平分线与?ACD的平分线交于点A2，?，?An?1BC的平分线与?An?1CD的1平分线交于点An. 设∠A＝?. 则（1）求?A1、∠A2的度数； （2）猜想?An= °.
四、巩固练习
1．如图，长方形网格中每个小长方形的长为2，宽为1，点A、B都在网格格点上，若点
C也在格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（ ） A．2
B
BCDAA1A2BAEGBPHAEMBP
一、知识要点
全等三角形性质及判定方法. 二、课前演练
DFC图2DCF图3D§4.2 全等三角形
B．3
C．4 A D．5
ADE22
PDA BCBCA1（第1题图） （第2题图） （第3题图）
1．如图1，AB=AC ，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） ．．
A．∠B=∠C B．AD=AE C．∠ADC=∠AEB D．DC=BE
2．如图2，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
AE M A
DCD E DEEDA B FFN 1BAB2CF C图1 图4图2 图3B
3．如图3，AB=DB，∠1=∠2，只需添加一个条件 ，就可得到△ABC≌△DBE． 4．如图4，AB=DC，AD=BC，点E、F在AC上，且AF=CE，若∠CEB=110°，∠BAC=30°， 则∠CDF= °． 三、例题分析
例1在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE， ②BF=EC， ③∠B=∠E， ④∠1=∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论.组成一个真命题，并给予证明. 题设： ；结论______.（均填写序号） 证明：
例2如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长的一半为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
四、巩固练习
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．周长相等的锐角三角形都全等； B．周长相等的直角三角形都全等； C．周长相等的钝角三角形都全等； D．周长相等的等腰直角三角形都全等
AFPECNBMD122．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
A
O P B
（第2题图）
A E
AB （第3题图）
F C
CD（第4题图）
B3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是 .
4．如图，△ABC中，∠C =90，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．
5．如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．
E 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
A
B
D C
0
ADBFCE6．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG-GE=EA．
C2
2
2
BFHGDEA§4.3 等腰三角形
一、知识要点
等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.
23
二、课前演练
A1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 .
D2．如图1，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线， E分别交AB、AC于点D、E.
BC0
(1)若∠C=70，则∠CBE= °，∠BEC= °. (第2题图) (2)若BC=21cm，则△BCE的周长是 cm.
A
3. 如右图，在△ABC中，D，E分别是边AC、AB的中点，
E D 连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( )
A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC C B (第3题图) 4．如下图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离
C相等，且PA=PB．下列确定P点的方法正确的是( ) A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
PB．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 BA(第4题图) D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 三、例题分析
例1 如图，△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. （1）OB与OC相等吗？请说明你的理由；
（2）若连接AO，并延长AO交BC于点F.你有哪些发现？请写出两条，
并就其中的一条发现写出你的发现过程. (由课本P29例2改编）
例2 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，
∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
A
APDBC图1 图2
3．如图2，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABCD是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）
A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
B? 36A 0 A 45C
B? 0 A 900 C
B? (3) C B? A 1080 (4) C
AEOBBEMC(1) (2) A.(1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (2)(3) (4) D. (1)(3)(4)
DC5．如图，在直角△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
CD
ABE6. 如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC沿直线AD折叠后，点C
D落在C′的位置上，求BC′的长.
w W w x K b 1.c o M AC'
四、巩固练习
1. 在△ABC中，∠C=90，AC的垂直平分线交AB于点D，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD是△ABC的角平分线,AC=10,DC=6.则D到BC的距离为___ .
BDC
§4.4 直角三角形和勾股定理
一、 知识要点
24
直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 课前演练
1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB的度数 为__ ___?.
3．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
B图1
边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度．
OA
2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______．
3．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A．5米 B．3米 C．(5+1)米 D．3 米
三、例题分析
例1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：
（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）
122
例2 抛物线y=-x+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
22（1）求A、B、C三点的坐标；（2）证明:△ABC为直角三角形；
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理
四、巩固练习
1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的
图2
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）.
6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长
§4.5 等腰梯形
ABC3Cx425
AB