4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．
已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( )
A．2条
B．4条
C．5条
D．6条
5．如图，矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF.
2．如图,菱形ABCD中,点A、B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC= ． 3．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
4．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60° 三、例题分析
例1 如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形， 试判断线段BE与DG的数量关系，并说明理由．
例2 如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60o，求证：BE=DF； (2)如图2，若∠EAF=60o，求证：△AEF是等边三角形．
DGCEFAB
A F E B C D 图1 6．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm）． （1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围． （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F
为顶点的三角形以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
2
§4.8 矩形菱形正方形（2）
一、知识要点
菱形、正方形的概念；菱形、正方形的性质与判定，能运用其解决生活中实际问题． 二、课前演练
1．如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为_________㎝．
D A
E B C A
2
四、巩固练习
1. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A. ∠D=90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD[w#w 2.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积
DD FC31
DAOBCB C
EAB(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)
是 ( )
A．163 B．16 C．83 D．8 3.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠A=60．弧BD
是以点A为圆心、AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心、 BC长为半径的弧．则阴影部分的面积为 cm．
求证：AE?AF．
A [中国教育出@^&版网#*]
B E C （1）求证:DE=EC； 1
（2）若AD=BC,试判断四边形ABED的形状,并说明理由．
2
6. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC?BD，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、DA的中点. （1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．
F D
2
0
第五章 圆与三角函数
§5.1 圆的认识及有关概念
一、知识要点
圆的有关概念，点和圆的位置关系，圆的对称性（中心对称性：弧、弦、圆心角的关系，轴对称性：垂径定理），圆周角定理及推论，确定圆的条件，三角形的外心. 二、课前演练
1. 如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则线段OM的最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=700，那么∠A的度数为（ ） A. 70 B. 35 C. 30 D. 20
AABC
DAMO COBODCEA BFB （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 3．如图，过D、A、C三点的圆的 圆 心为E， 过B、E、F三点 的圆的圆心为D，如果 ∠A=63 o，那么∠B= o．
4．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC=40°，则∠BOC= °．
三、例题分析[来源*:中&~#^教网]
例1 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O 交BC于D，交AC于E． （1）求∠EBC的度数； （2）求证：BD=CD． A OE
CB D
0000(第3题图)
4. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且CE?CF．
5. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BDC=90°,E为BC上一点,∠BDE=∠DBC.
32
例2 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD． （1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
C AD
6. 如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE． ?试说明：△ABE与△ADC相似；
O D C
B ?若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积.
A E
OB
§5.2 直线和圆的位置关系（1）
一、知识要点
直线和圆的位置关系（相离、相切、相交），切线的性质与判定，切线长定理. 二、课前演练
C O A D A D B
A B C D 2. 已知圆O的半径为R，AB是直径，D是AB延长线上一点，DC是 切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（ ） B A D 3 O A．2R B．3 R C．R D． R 2C 3．如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB 的距离为______ cm时，直线AB与⊙0相切．
4. 如图，PA是⊙O的切线，直线PBC过点O，交⊙O于B、C， 若PA=8cm，PB=4cm，则⊙O的直径为_________cm．
三、例题分析：
COBPA四、巩固练习
1．如图，在535正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
A B C C 1
56o A l2
C B P 1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（ ）
P Q R M B l1
（第1 题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
2．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2
于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=56o，则∠1= ( )
A．36o B．68o C．72o D．78o
3. 如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B（ ） A．30°
B．35°
C．40°
D．50°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_________________。
5．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_________________。
33
例1 如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（点
A C与点B不重合），连接AC交⊙O于D，切线DE交BC于E. （1）在点C运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数； （2）在点C运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；
例2 如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：(1)△BCD∽△ADE； (2)DF是⊙O的切线．
BDEOCFA5．（2012?天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B． （1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小.
6．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts． （1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；
（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P
与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
D ． ＯB A ． ＯB
M C E
图1
D M C E
图2
四、练习巩固
1．已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定
2. 设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，
则d与r的关系是（ ）
A. d≤r B. d＜r C. d≥r D. d=r 3．如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O
的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O 与直线PA相切时，圆心O平移的距离为 _____ cm．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则k+b的值为___ ．
§5.2 直线和圆的位置关系（2）
一、知识要点
切线的性质和判定，三角形的内切圆（内心和外心的区别）。 二、课前演练
1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6㎝，AB=4㎝，则⊙O的半径为（ ）
A.45㎝ B.25㎝ C.213㎝ D. 13㎝
34
2．如图2，⊙0的直径AB与弦AC的夹角为35°，切线PC交AB的延长线于P，则∠P（ ） A．150
B．200
C．250
D．300
ACADF OAOBPO BB
1 图2 EC图图3
3．Rt△ABC中，∠ C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的内切圆半径为 ． 4．如图3，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE= ．
三、例题分析：
例1如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C. （1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．
例2如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．
（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC是⊙O的切线．
四、巩固练习：
35
1. 如图，BC是⊙O直径，AD切⊙O于A，若∠C=40°，则∠DAC=（ ） A.50° B.40° C.25° D.20°
2．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O过顶点A、B，且与CD相切，则圆的半径为（ ）
A.43 B.55
4 C.2
D.1 ADy
ABB
BCO ODCA O P x (第1题图) (第2题图) (第3题图)
3. 如图，直线y=
3
3
x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD:AE=4:5，BC=6，求⊙O的直径．
5. 如图，⊙O直径AB=4 ，∠ABC=30°，BC=43, D是线段BC中点． （1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O切线．
6．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线与BC交于点D，点E在AB上，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． （1）AC与⊙D相切吗？并说明理由．
（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？