正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2
1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2
1.2.1 正交矩阵的定义和判定........................................................................ 2 1.2.2 正交矩阵的性质.................................................................................... 3 2正交变换的定义和性质........................................................................................... 12
2.1正交变换定义的探讨..................................................................................... 12 2.2正交变换的判定............................................................................................. 14 2.3正交变换的性质............................................................................................. 15 3正交矩阵的应用....................................................................................................... 17
3.1正交矩阵在线性代数中的应用..................................................................... 17 3.2利用正交矩阵化二次型为标准形................................................................. 22
3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明.................................................. 22 3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例.......................................... 23 3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程........................... 25 3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用..................................................................... 26 3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用............................................................. 35 4 酉空间和酉矩阵...................................................................................................... 38
4.1 酉空间............................................................................................................ 38
4.1.1 酉空间的定义...................................................................................... 38 4.1.2 酉空间的重要结论.............................................................................. 38 4.2 酉矩阵............................................................................................................ 40
4.2.1 酉矩阵的定义...................................................................................... 40 4.2.2 酉矩阵的性质...................................................................................... 40 5酉矩阵的应用........................................................................................................... 48
5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用..................................................................... 48 5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵........................................................ 54 6 正交矩阵与酉矩阵.................................................................................................. 57 7结论........................................................................................................................... 60 参考文献...................................................................................................................... 62 致谢.............................................................................................................................. 63
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
0 前 言
正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.
在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.
在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域
──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得
到了酉矩阵的若干结果.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
1 欧式空间和正交矩阵
1.1 欧式空间
设V是实数域上一个线性空间,在V上定义了一个二元实函数称为内积,记作(?,?),它具有以下性质:
1) (?,?)?(?,?)（对称性）; 2) (k?,?)?k(?,?)（线性）; 3) (???,?)?(?,?)?(?,?)（线性）;
4) (?,?)是非负实数,且(?,?)当且仅当??0（正定性）.
这里?,?,?是V中任意的向量,k是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.
1.2 正交矩阵的定义和性质
在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.
1.2.1 正交矩阵的定义和判定
正交矩阵有以下几种等价定义及其判定
定义1.1 A为n阶实矩阵,若A?A?E,则称A为正交矩阵. 定义1.2 A为n阶实矩阵,若AA??E,则称A为正交矩阵. 定义1.3 A为n阶实矩阵,若A??A,则称A为正交矩阵.
定义1.4 A为n阶实矩阵,若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A为正交矩阵.
由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理： 判定定理 1 A为正交矩阵?A??A?1.
?1,i?j判定定理 2 A为正交矩阵?当且仅当A的行向量组满足?i??j??ij??
0,i?j? 第 2 页 共 64 页
?1 正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
其中i,j?1,2,?,n且?ij是Kronecker(克朗内克)记号.即A的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.
证明 A为正交矩阵 ?AA'?E
??1??1???????0?,?2?,?,?n???? ??2???1??????0?????n?0??100? ?????0?1??00?1,i?j?? ?i?j??ij??,其中i,j?1,2,0,i?j?,n.
?1,i?j判定定理 3 A为正交矩阵?当且仅当A的列向量组满?i??j??ij??.
?0,i?j其中i,j?1,2,?,n且?ij是Kronecker记号.即A的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.
证明 A为正交矩阵 ?AA??E
????1?1????????0 ??2???1,?2,?,?n?????????0??????n?0??100? ?????0?1??00?1,i?j ??i??j??ij??,其中i?j?1,2,...n.
?0,i?j?cos?例1.1 判断矩阵A???sin???sin??(其中?是实数)是否是正交矩阵. ??cos??s?sin???co?s?co?解 AA'?????sin?s????co????sinsin???1????co?s???00??. ?1? 因此A是正交矩阵.
1.2.2 正交矩阵的性质 性质1 设A为正交矩阵,则 1) A??1；
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?12) A可逆,即A?1存在,其逆A也是正交矩阵；
3) A?,A*也是正交矩阵.并且当A为n(n?2)阶正交矩阵时,当A?1时,A??A*,即aij?Aij;当A??1时,A???A*,即aij??Aij.
证明 1) 由AA??E,可知A?1,则A??1.对正交矩阵A,当A?1时,我们称A为第一类正交矩阵；当A?1时,则称A为第二类正交矩阵.
2) 由AA??E,可知A可逆且A?1?A?.又(A?1)??(A?)??A?(A?1)?1,故A是正交矩阵.
3) 由1)知A??A?1,A?是正交矩阵.而由A?AA*?12*?1??A?1,可以得出
A**?1??1?*?1?A????A???A??A?,故A是正交矩阵.由A??1,A??A?A,当
*A?1时,A??A,即aij?Aij;当A??1时,A???A*,即aij??Aij.
性质2 设A,B都是n阶正交矩阵,则
m?1?1?11) AB,A (m为自然数),A?B,AB?,AB,AB,ABA等都是正交矩阵.
?A0?1?AA?2) ??,??也是正交矩阵.
0B?AA??2??3) 准对角矩阵diag?A1,A2,?,As?为正交矩阵?A1,A2,?,As均为正交阵. 证明 1)由A??A?1,B??B?1可知(AB)??B?A??B?1A?1?(AB)?1,所以AB为正
m?1?1?1交矩阵.从而再由性质1可推知A(m为自然数),A?B,AB?,AB,AB,ABA等均为正交矩阵.
?A0???A?0??A?1 2) 因为?????????0B??0B??00??A0???? ?1?B??0B??1?1?AA????1?AA??及 ????????
?AA?AA???2????2??
1?A??A??1?AA?????2?A?A??2??AA?
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