正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
标准正交积; 3??是线性变换,在任意一组标准正交积下的矩阵是正交矩阵; 4?对任意的?,??Vn,有????????????????,?????? 5?对任意的?,??Vn,有????????????????,????????????? 6?对任意的?,??Vn,有?????????????,?????? 证明 用两步循环法:1??2??3??1?;1??4??5??6??1?; 其中1??2??3??1?见课本教材定理4.下面证明1??4??5??6??1?. 1??4? ?是正交变换??是线性变换.故对任意的?,??Vn,有????????????????. ??是正交变换 ?对任意的??Vn,有?????,????????,??.两边开方即得??????. 4??5?设?,??Vn,有??????????????????????????????? 5??6?取??0,则由????????????????????,有?????? 6??1?由??????????,???????????????,???? 即??(?),?(?)????(?),?(?)??2??(?),?(?)????,?????,???2??,??. 又??????? 得??(?),?(?)????,??.故?是正交变换.
2.3正交变换的性质 性质1 正交变换的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为第一类的； 行列式等于?1的正交变换称为第二类的. 证明 正交变换?在标准正交基下的矩阵A是正交矩阵,?的行列式等于A的行列式. 所以正交变换的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交变换称为旋转,或者称为第一类的； 行列式等于?1的正交变换称为第二类的. 第 15 页 共 64 页
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
性质2 第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值. 证明 设是一个第二类正交变换对应的矩阵,则A??1. ?由于??1?E?A?A?A??E????E?A?????E?A? 所以?E?A?0，即-1是的一个特征值. 性质3 正交变换是欧氏空间的一个自同构映射. 证明 设?是V的正交变换,?在任一标准正交基下的矩阵为正交矩阵,它有逆矩阵,故?有逆变换,因而?是V到V上的双射. 对于任意的?,??V,由?是正交变换知 ????????????????,??k???k????,?k?R ?????,????????,?? 所以?是V到V的一个自同构映射. 性质4 正交变换的乘积、正交变换的逆变换还是正交变换. 证明 设?,?是V的正交变换,??,??V???(?),??(?)????(?),?(?)????,?? 及???1?,??1???????1??,????1?????,?? 知AB,A?1都是V的线性变换.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
3正交矩阵的应用 3.1正交矩阵在线性代数中的应用 在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧式空间的一组基为标准正交基的另一种方法.
wjwi?c?,d?设向量W??w1,w2?wn?,令s?wi2?w2,??j?ijss,则称n阶矩阵
?1???????c?d???i行?? Tij??????d?c???j行??????????1??? i列 j列 为初等旋转矩阵.
初等旋转矩阵Tij,是由向量W的第i,j两个元素定义的,与单位矩阵只在第
i,j行和第i,j列相应的四个元素上有差别.
设Tij是由向量W定义的初等旋转矩阵?j?i?,则有如下的性质: <1> Tij是正交矩阵;
?,则有ui?s,uj?0,uk?w（u1,u2,?,un）<2> 设TijW?; （kk?i,j）<3> 用Tij左乘任一矩阵A,TijA只改变A的第i行和j行元素（用Tij右乘任一矩阵A,ATij只改变A的第i列和j列元素）.
证明 <1> ?c?d22?w?2i?w2js2??1,故T?Tijij?E,Tij是正交矩阵.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
<2> 由Tij得定义知,用Tij左乘向量W,只改变W的第i,j两个元素,且
2wi2wjui?cwi?dwj???sss wjwiwiwjuj??dwi?cwj????0ss所以Tij左乘W,使TijW的第i个分量非负,第j个分量为0,其余分量不变.
<3> 根据 <2> 及矩阵乘法即可以得出结论. 引理 3.1.1 任何n阶实非奇异矩阵A??aij?n?n,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵,且其对角线元素除最后一个外都是正的.
定理 3.1.1 设P是n阶正交矩阵
<1> 若P?1,则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积,即P?P1P2?Pr; <2> 若P??1,则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵
E?n,即P?P1P2?PrE?n,其中Pi(i?1,2,?r)是初等旋转矩阵.
?1??1???? ?????1????1???n?nE?n证明 由于P是n阶正交矩阵,根据引理3.1.1知存在初等旋转矩阵
S1,S2,?Sr使SrSr?1?S2S1P?R这里R是n阶上三角阵,而且R得对角线上的元
?S2??Sr?R (3-1-1) 素除最后一个外都是正的,所以有P?S1由P是正交矩阵和(3-1-1)式得
??Sr?R?E 即 R?R?E (3-1-2) P?P?R?Sr?S1S1?r11?设 R?????r12?r1n?r22?r2n?? 其中r?0?i?1,2?n?1?,则
ii????rnn? 第 18 页 共 64 页
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?r11?r R?R??12????r1nr22?r2n??r11??????????rnn??r12r22?r1n??1??1??r2n?????
?????????rnn??1??0?1?由上式得 rij???1???1i?j;i?j;i,j?1,2,?,n?1;i?j?n且P?1;i?j?n且P??1.
?E当P?1所以 R?? (3-1-3)
E当P??1??n于是由(3-1-1)和(3-1-3)式得
'?Sr'; <1> 当P?1时,P?S1'S2'?Sr'E?n. <2> 当P??1时,P?S1'S2记Pi?Si'?i?1,2,?,r?,Pi是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.
引理 3.1.2 设A??aij?n?m,秩?A??m,则A可以通过左连乘初等旋转矩阵,把
?R?A'变为??O??的形式,其中R是m阶上三角阵,O是?n?m??m矩阵.
???R1?证明 由引理3.1.1知A?P??O??,其中P是n阶正交矩阵,R1是m阶上三角阵,
???P?Pr,又根据定理3.1.1知P??11?PrE?n,?PP?1，其中Pi?i?1,2,?r?是初等旋转矩阵. P??1?R??R1???<1> 当P?1时,A?P1P2?Pr?1A???O?? ?O??令R?R1,Pr?P?????R1?<2> 当P??1时,A?P1P2?PrE?n??O??
???R1??R??于是有Pr??PA?E1?n??O?????O??.显然,R是m阶上三角阵.
???? 当n?m时,R与R1除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外,其余元素对应相等.
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