正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
0?? (3-3-4) ?Tan???a1由B为正定阵,从而存在正交阵T,使得B?T????0??a1将(3-3-4)代入(3-3-3)得 A?(CT?)???0??a1??(CT?)?1AT????0?0?? ?Tan??0?? (3-3-5) ?an??0??a1?,即?PAQ?????0an?? 其中P?(CT?)?1,Q?T?均为正交阵.
?a1 注 我们可以将(3-3-5)改写为A?P????0?0???,这就是A的一个分解即?Qan??实可逆阵表示为（正交阵）（正定阵）（正交阵）之积.
例3.3.3（浙江大学,天津师范大学）设A为m?n阶实矩阵,且rankA?r,
?D0?则矩阵A?P??Q?,其中P,Q分别为m阶和n阶的正交矩阵,而00??D?diag(a1,a2,,ar),ai?0,i?1,2,,r.
证明 由题意知AA?不是正定阵 (r(A)?r)
??12?从而存在正交阵P,使AA??P??0??A)?r(A又 r?r(A )
0???P? (3-3-6) ?n2??不失一般性,不妨设?12??22?令 di??i,(i?1,2,将P分块,令P??P1??r2?0,?r?1???m?0
0??P? (3-3-7) 0??D2,r),由(3-3-6)得AA??P??0P2??AA???P1?D2P2???0?0??P1?2? (3-3-8) P?????PD11P0??2?由于P为正交阵?P?P1?Er
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
??1?D2 (3-3-9) 用P1?左乘,P1右乘(3-3-8)两端得P1(AA)P?1????V?V?(D?1P令 V1??D?1P1A)(DP1A)?Er (3-3-10) 1A,则V1为r?m实矩阵,且 11 E?PP???P1??P1??2P? P2????PP11?P?P2???1??1?PDDPA1?PDV1? 1 (3-3-11) (E?P2P?2)A?PP1A1?由(3-3-11)得 A?P1DV1?2 A (3-3-12) P?2P由于r(P?A)?r ?P?AX?0 有m?r个线性无关的解,将它们正交单位化后构造m?(m?r)矩阵V2,这样由P?AV2?0,可得
?P?AV?0 ? ?12??P2?AV2?0(3?3?13 )(3?3?14)?但V2?V2?E 令Q?(V1,V2),由于V1?V2?D?1P1AV2?0 从而Q为正交阵,并(3-3-8)(3-3-13)式
?1??P??A?) P2?AV1?2(AD1P21?A??PA?PP1221?1?PP1P? P(DP?P1P01?0)
由(3-3-14)式得
?P??D0???????????(3-3-15) ? P?AQ??1?(PDV(V,?)?11?PP2A2)V12??00??P2?其中D?diag(d1,d2,,dn),di?0,(i?1,2,,r)
?D0?Q?. ??00?由(3-3-15)知 A?P??E（证法二）由假设存在m阶与n阶可逆矩阵T和S,使A?T?r?00?S ?0???对T,S?作QR分解,T?PR1,S?Q1L
其中P1,Q1分别为m阶与n阶正交矩阵,R,L分别为非奇异的正三角矩阵与下
?R1三角矩阵,则A?P1??0R2??Er?R3???00??L1?0???L20??R1L10???Q?PQ1 (3-3-16) 1???L3??00? 第 31 页 共 64 页
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
其中R1为R的r 阶顺序主子阵,L1为L的r 阶下三角顺序主子阵,
所以R1L1是r阶可逆矩阵,因而存在正交矩阵P2,Q2?,使得
?2? P2(R1L1)Qdia(g1,a2,ar,，)aai?0,i?1,2,其中
（3-3-17) ,r.
令D?diag(a1,a2,?P??Q?0? 0? 22,ar), P?P?,Q?Q1??1?0E0E??m?r?n?r?????将(3-3-17)代入(3-3-16)得 A?P??D0?Q? 且P?P?Em,Q?Q?En. ??00?例3其实矩阵分解的一个类型,也就是矩阵的奇异值分解问题,而由矩阵的奇异值分解,我们可以得到矩阵的另一种分解模式,即矩阵的极因子分解问题.
定理3.3.3设A为n阶实方阵,那么
?1? A必有分解式A?(AA?)2Q?Q(AA?)2,其中Q为正交阵； ?2? 当A?0时,?1?式中的分解Q是唯一解.
证明 ?1? 由矩阵的奇异值分解,知存在正交阵P,R',使得A?P?中D?diag(a1,a2,?D2 ?A?A?R??01211?D0??R?,其00??,ar).
?D20??R?,A?A?P?0??00?222?P? 其中 D?diag(a1,a2,0?,ar2)
?(A?A)?R?R? (3-3-18) ??00?? (AA?)?P??00?P? (3-3-19)
??12?D0?D0其中 D?diag(a1,a2,,ar)
用PR?左乘(3-3-18)式两边,得
1?D0? PR?(A?A)2?P?R??A 其中 D?diag(a1,a2,??00?,ar)
用PR?右乘(3-3-19) 式两边得 (A?A)2P?R?A
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
令 Q?PR? 即A?(AA?)2Q?Q(A?A)2
?2? 由A可唯一确定(A?A),(AA?),而当A非奇异时(A?A)存在,可唯一决
121211?12定Q?(A?A)A.
例3.3.4 设A,B为任意n阶实矩阵,且 A?A?B?B,则B?QA,这里Q为正交矩阵.
证明
?12?B ?(B?B)2?(A?A)2 A?A?B11 由矩阵的极因子分解,我们有
B?Q2(B?B)2?Q2(A?A)2,A?Q1(A?A)2,其中Q1,Q2为正交阵,
111?1为正交阵. ?2 ?B?Q2Q?1Q(1AA)?QA,这里Q?Q2Q注 当A是非奇异矩阵时,本条极易证明. 由A?A?B?B 得(BA?1)?(BA?1)?(A?1)?B?BA?1?E 这证明Q?BA?1是正交矩阵 ?B?QA.
以上均说明了矩阵分解与正交阵之间的关系,但作为正交阵分解本身而言,也是特殊的.
例3.3.5 设A是正交矩阵,求证存在正交阵B,使得A?B3. 证明
A是正交阵?存在可逆阵P,使得
Es?cos?1??sin?1?sin?1??cos?1??cos?2??sin?2?sin?2???? cos?2??1?P?1AP?diag?Er?显然存在正交阵B,使得
???1PBP?diag?Er???Es?1?cos?3??sin?1?3??sin3???cos1??3??1??2?cos?3??sin?2?3??sin3??
????cos2??3????2??而 (P?1BP)3?P?1AP ?A?B3.
例3.3.6 设A为n阶矩阵,且A2?E,证明：秩(A?E)+秩(A?E)?n.（厦门大学06）
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解 由于A2?E,则A2?E?(A?E)(A?E)?0.因此(x?1)(x?1)?x2?1为A的化零多项式.从而有mA(x)|x2?1.所以A的最小多项式的根只能为-1或1.
又A的特征多项式与最小多项式有相同的根,因此A的特征值为-1或1.假设
A的特征值中有r个-1（或1）,则A的另外的n?r个特征值必为-1（或1）.
??1????1故而存在正交矩阵T,使得A?T???????????T ???1???11r则有
??1????1A?E?T?????????1???????1?T?E?T????????1????????T?T?1ET ???1???11?11rr
???1???????1?T????????????????1?1??????????1??E?T?T???????????1??????????T ???1?1???11?1?11?1rr?0????1 ?T??????02r?????T ???2?? 第 34 页 共 64 页