正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
所以,若A?1,当n为偶数时,A的特征多项式有奇数项,它以bn为中间项,
2左右对称项的系数相同,其中包括首项系数与常数项bn；当n为奇数时,A的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号,因首项系数为1,且bn为-1,故也包括在内.
?II?若A??1,则Mk??Ak????1?2?i???i?Nn?k??Nn?k.故A的一切k阶主子
1k式之和与A的一切n?k阶主子式之和仅差一个符号.
?i?n为偶数时,f?x?有奇数项,由Mk?1??Nn?k?1,且bk?1为所有的Mk?1之和乘
以??1?,bn?k?1为所有的Nn?k?1之和乘以??1?k?1n?k?1,其中??1?k?1???1?n?k?1?n为偶数?.
n故bk?1??bn?k?1(k?2,?,),bn?(?1)nA?1.
2?ii?n为奇数时,f?x?有偶数项,由Mk?1??Nn?k?1,Mk??Nn?k,且bk为所有的
k阶主子式之和乘以??1?k,bn?k为所有的n?k阶主子式之和乘以??1?n?k,其中
??1?k与??1?n?k相差一个符号.
n?1）,bn?(?1)nA??1. 2所以若A??1,当n为偶数时,A的特征多项式有奇数项,它以bn为中间项,
故bk?bn?（kk?1,2,?,2左右两边对称项的系数相差一符号,因首项系数为1,bn为?1,故也包括在内；当
n为奇数时,A的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数相同,其中包括首项系数与常数项bn均为1,也包括在内.
性质13 正交矩阵A的一切k阶主子式之和与一切相应n?k阶主子式之和或相等或仅差一符号.
??1性质14 正交矩阵可以对角化,即存在复可逆阵T使得A?T?1????其中?1,...,?n为A的全部特征值,即?i?1?i?1,2,...,n?.
性质15 对称正交矩阵A??aij?n?n的行列式A???1?n?trA2??T,??2??.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或?1.设A的n个特征值中有k个?1,则剩下的就是n?k个1.由??i???1??k?1??n?k??n?2k?trA,故k?i?1nn?trA. 2所以A???i???1?1?(?1)kki?1nn?trA2.
?1??98例如对称正交阵A????9?4???989194?9?4????117?9?3?????n?trA?999?4?2有A???1????1?2??1. ?9?7??9?性质16 当n阶正交矩阵A为基础循环矩阵时,则它的全部特征值为实根,且为n个n次单位根.
?010?0????001?0?证明 设A????????为基础循环矩阵.可知A的特征多项式为
??000?1??100?0????f?x??xI?A?xn?1,则其特征根为xk?cos2k?2k??k?1,2,?,n?. ?isinnn故xn为n次单位根.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
2正交变换的定义和性质
在标准正交积下,正交变换与正交矩阵对应,本文中提到在探讨性质应用之前,先得了解正交矩阵的出处,正交矩阵来自于正交变换的定义,设??EndR(V)是欧几里得空间的线性变换,如果?保持内积不变,也就是说,对任意的?,??V,有??(?),?(?)????,??.正交变换是保内积的,也即保长度和夹角,则变换前后的图形全等.
2.1正交变换定义的探讨
在解析几何中,我们学过正交变换的定义,正交变换就是保持点之间距离不变的变换,正交变换也是高等代数与线性代数中常见的定义,其表述方式为： 定义2.1.1 设?是欧氏空间V的一个线性变换,如果保持向量内积不变,即对??,??V,都有??(?),?(?)????,??,则它是正交变换. 定义2.1.2 设?是欧氏空间V的一个线性变换,如果保持向量的长度不变,即对??,??V,有??????,则此线性变换?叫做正交变换. 因此由上述可知,在线性变换的前提条件下,保持向量的长度不变与保持向量的内积不变是等价的. 探讨1 事实上,我们可以对定义2.1.1作一个修改.在此之前,我们先看下面 的命题： 命题 设?是欧氏空间V的一个变换,如果保持向量内积不变,即??,??V有??(?),?(?)????,??,则它一定是线性的,因而也是正交变换. 证明 先证?(???)??(?)??(?). 对??,??V,有 ??(???)??(?)??(?),?(???)??(?)??(?)? ???(???),?(???)????(???),?(?)????(???),?(?)????(???),?(?)? ???(?),?(???)???(?),??(??)??(??)(?)?,????(?,??()?? ?()?,?()?)?? 第 12 页 共 64 页
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
(?,??)?(?,?)2??,( ????,??) ?(???,???)?2(???,?)?2(故?(???)??(?)??(?)?0即?(???)??(?)??(?) 其次再证??a???a???? ?a?R? ?a??????,??a?????a???a??? ?（?(a?）,?(a?)）?2(?(a?),a?(?))?(a?(?),a?(?)) ?a2(?,?)?2a2(?,?)?a2(?,?) ?0 即??a???a???? ??是线性变换,因此也是正交变换. 由命题可知,定义1中?是线性变换是多余的,因此定义可以修改为： 定义1 欧氏空间V中的一个变换?,若它保持向量内积不变,即??,??V有??(?),?(?)????,??,则?为正交变换. 探讨2 由定义1到定义1＇,将条件中线性变换降弱为变换,于是我们就问可以将定义2中的线性变换也降弱为变换？事实上,这是不行的,我们用一道考研题来说明. 中国人民大学1991年考研试题： 欧式空间V中,保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？若是给出证明,若不是举出反例. 答 不一定是正交变换. 例如设R2???x,y?|x,y?R?内积如通常所述,定义 ?:R2?R2,T?x,y???1?1?x2?y2,x2?y2???x,y?R?. 2?2?1?1?令???x,y??R2,则?????x,y???x2?y2,x2?y2?, 2?2?x2?y2x2?y22?????x2?y2??,显然????. 222 第 13 页 共 64 页
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
即变换?保持长度不变,但?不是线性变换. 设???2,1?,?1??1,0?,?2??1,1?,则???1??2,而???(11,),??2?(1,1),显然???T?1?T?2. 2255,), 22??1?(故?不是正交变换. 探讨3 在解析几何中,正交变换是保持点之间距离不变的变换,下面将研究,在欧式空间中,保持向量距离不变的变换是否为正交变换？ 下面以一道山东大学考试题说明： 设欧氏空间V定义d??,??????为距离,??x,y?V?,问保持距离不变的变换是否为正交变换？ 答 不一定是正交变换,比如在R2中的向量平移??(x,y)???x?1,y?1? 令??(x1,y1),??(x2y2),则 ?(?)??x1?1,y1?1?,?(?)??x2?1,y2?1??d???,??????????x1?x2,y1?y2?d????? 显然它保持距离不变,不是线性变换. 但????(x1?x2,y1?y2), ??(???)?(x1?x2?1,y1?y2?1) 而?(?)??(?)??x1?x2?2,y1?y2?2?,所以????????(?)??(?) ??不是线性变换,也不是正交变换. 总之,由以上讨论线性变换在欧氏空间的前提条件下,它保持向量的内积与保持向量长度以及保持向量距离不变是等价,但是在仅为欧氏空间的变换前提下上述三者之间不存在等价关系. 2.2正交变换的判定 定理 设?是n维欧式空间Vn的一个线性变换,则以下命题等价: 1??是正交变换; 2??是线性变换,?1,?2,,?n是标准正交积,则???1?,???2?,,???n?也是 第 14 页 共 64 页