正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
??????n?r ???2???0???因此 rank(A?E)?rank??????02r同理可得
??1????1A?E?T?????????2???????1?T?E?T????????1????????T ???0???11?20rr??2???则有 rank(A?E)?rank???????20r??????r ???0??从而有 秩(A?E)+秩(A?E)?n?r?r?n .
3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用
如果线性方程组Ax?b的系数阵A是列正交矩阵,则其有唯一解 例3.4.1 设A??aij?n?n为正交矩阵,且a11??1,求解矩阵方程
?1?Ax??1,0,?,0??; ?2?yA??1,0,?,0?.
解 ?1?A的第一行为单位向量,因而
22 a11?a12???a12n?1,a11??1?a12???a1n?0;
?1??1??a11???1?????????0???0??a??0?x?A?1???AT????12????.
?????????????0??0??a??0??????1n????2?A的第一列为单位向量,因而
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
222 a11?a21???an,a11??1?a21???an1?0; 1?1y??1,0,?,0?A?1??1,0,?,0?AT??a11,a21,?,an1????1,0,?,0?.
将矩阵A的正交三角分解A?UR代入方程Ax?b的正规化方程A?Ax?A?b得,R?Rx?R?U?b,即Rx?U?b,所以正规化方程的解为x?R?1U?b,此即原方程的最小二乘解.如果A?QR是实矩阵,则x?R?1Q?b.
例3.4.2 用QR分解解线性方程组AX?b,其中
13??1??1?????2121???? A??，b?. ???2?58?11??????13?7??9?????解 将A的三个列向量?1,?2,?3正交化,可得
?????????1,2,2,?1，1?1????,???? ??2??2?21?1??2,3,?3,2?，
??1,?1??????,????,?????3??3?31?1?32?2??1,2,2,?1?，???1,?1???2,?2??再单位化,得
?1??2??2???????1?2?1?3?1??1? ?1? ，??，??，21??????2?3?1102610????????1??2???2???????则Q???1,?2,?3?.由于Q?Q?I3，所以由A?QR可得
R?Q?QR?Q?A
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
??? ???????1102262102103261?102103?261?101???110??2??226??2??2???1???10??11?533??2? ?8??7???10?10310??? ??26?26?.
????10???1??10所以R?1???????126126?2??10?1?
.10??1??10??x?R?1Q?b
?1??10????????1??10???????126126?2????10??1??10????1????10??1102262102103261?102103?261?101????1?10???12??? 26???11????2??9?????10??126126?2??10???210??1????1???226???1?. ?10??????10??1???1????10?将x??1,1,?1??代入原方程组成立.所以它是原方程组的解.
?1??1??1????x?例3.4.3 方程组?显然无解,但列满秩矩阵A???1??0??1??的正交分解为 ????????A?????1??11?2?.2?QR,因此原方程两端同乘以R?1Q??1?,??得x?1.
1?2?22??2?显然这是原方程组的最小二乘解.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
理论中,经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.
4 酉空间和酉矩阵
4.1 酉空间
4.1.1 酉空间的定义
设V是复数域上一个线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为内积,记作(?,?),它具有以下性质:
1) (?,?)?(?,?),(?,?)是(?,?)的共轭复数; 2) (k?,?)?k(?,?); 3) (???,?)?(?,?)?(?,?);
4) (?,?)是非负实数,且(?,?)当且仅当??0.
这里?,?,?是V中任意的向量,k是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
例4.1.1 在线性空间Cn,对向量定义内积为
(?,?)?a1b1?a2b2???anbn
显然上述内积满足定义4.1.1中的条件.这样Cn就成为一个酉空间. 4.1.2 酉空间的重要结论
???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论,因此在这只简单地列出重要的结论,而不详细论证.
k是k的共轭复数. ?k?(?,,)1) (?,k?))2) (?,???)?(?,??(?. ,?由1)和2?,设??i,?j?V,ai,bj?C,i?1,,m;j?1,,n,则
n?m?mn??ai?i,?bj?j????aibj??i,?j?.
j?1?i?1?i?1j?13)因为在酉空间V中对于???V,??,??是一个非负实数,所以可以像Euclid空间那样,定义向量?的长度为????,??.
这样,V中任意非零向量的长度总是一个正实数,长度是1的向量称为单位向量．显然?k?C,???V,都有|k?|?|k||?|.
4)在一个酉空间中,柯西–布涅柯夫斯基?Cauchy?Schwarz?不等式仍然成立．设??,??V,则??,?????,????,??,当且仅当?与?线性相关时等号成立．
注意：酉空间中的内积(?,?)一般是复数,故向量之间不易定义夹角,但仍引入
5)向量?,?,当(?,?)?0时称为正交的或互相垂直.
26)在一个酉空间里,同样可以定义正交组和标准正交组的概念． 酉空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组．
若一个正交组的每一个向量都是单位向量,则称这个正交组是一个标准正交组．
在一个有限维酉空间V中,同样可以定义正交基和标准正交基的概念．Gram?schmidt正交化方法对于酉空间的向量仍然适用,任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充为一组标准正交基,并且对于V的任意一个基,可以通过正交化方法将它化为标准正交基．
7)设W是酉空间V的一个有限维线性子空间，令
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