正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
当n?m时,R?R1,所以由<1>、<2>知本定理的结论成立.
?a11??a12??a1m????????a21??a22??a2m?nm,??,??RV设?1???,?2??是欧式空间的子空间的一组m?????????????a??a??a??n1??n2??nm??a11??a21基,记A???1?2??m??????a?n1a12a22?an2?a1m???a2m?,则A是秩为m的n?m矩阵. ?????anm??若A??aij?n?m满足引理3.1.2的条件,则存在初等旋转矩阵P1,P2,?,Pr使得
?R???A? Pr??P1?O?? (3-1-4)
????r??1?P2?P??且 Pr?Pr??1?P2?P1E?PrP1?P (3-1-5)
由(3-1-4)和(3-1-5)两式知,对A和E做同样的旋转变换,在把A化成
?R?mT??V的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间. PmEP?O???综上所述可得化欧式空间的子空间Vm的一组基?1,?2,?,?m为一组基为准正交基的方法为(其中?i?(a1i,a2i,?,ani)?,i?1,2,?,m):
<1> 由已知基?1,?2,??m为列向量构成矩阵A??aij?n?m;
?R?<2> 对矩阵?A?E?施行初等旋转变换,化A为??O??,同时E就被化为正交矩阵
??P',这里R是m阶上三角阵;
<3> 取P的前m个列向量便可得Vm的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间Vm的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例说明此方法的应用：
???例 3.1.1 求以向量?1???1,1,0,0?,?2???1,0,1,0?,?3???1,0,0,1?为基的向
量空间V3的一组标准正交基.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
解 矩阵
??1?1?1???100? A???1?2?3????010?
???001???对分块矩阵?A?E?依次左乘T12,T23,T34,其中
?2???2?2T12????2?0?0?222?200?0?1?00?1??0??300?,T23??2?0??10?3??001??0?0231300??1???00???,T??34?00?????0?1??010010?230?20??0?3? 2??1???2?得
????? TTT?A?E???342312??????2000123200121????121??12161?0321231?2?0???0?? 3?2??1???2?66231??32310??2231?21???2??1??6则 P???1???23???12?121?61?231?20231231?2??1?0???2???1?0??2?,P??3??0?2??1??0??2??161?623?0?1231?231?23321???2?1???2 ?1??2?1???2?1???1?????1?????23????6??1??2????1??23???1???取P1??,P2?? 6,P3??1??2?????0??2??23??????0?3?3??0????????2?则P1,P2,P3就是由?1,?2,?3得到的V3的一组标准正交基.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 任意一个n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量,那么对称矩阵的对角化需要什么条件,怎样进行对角化?下面的讨论将给出答案.
3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 定理 3.2.1 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设A是n阶实对称阵,?是的特征值,X??x1,x2,,xn??是属于?的特征
?x1???________x2??向量,于是有AX??X.令X?,其中xi是xi的共轭复数,则AX??X,考察?????xn?等式X(AX)?XATX?(AX)TX?(AX)TX,其左边为?XX,右边为?XX.故?XX=?XX,又因X是非零量,XX?x1x1?x2x2?即?是一个实数.
因实对称矩阵A的特征值?i为实数,所以齐次线性方程组?A??iE?x?0为实系数方程组,由A??iE?0知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.此定理的逆命题不成立.
?1?24?例如,A??003?,?1,2?1,?3?0均为实数,而A不是对称的.
???001???____T____T____T________T____T____T____T?xnxn?0故???,
?x1??x1?????xx2?2???定理 3.2.2 设A是实对称矩阵,定义线性变换?:? (3-2-1) ?A????????x?n??xn?则对任意向量?,??Rn,有?A?,?????,A??或???A?????A?.
证 只证明后一等式即可.???A?????A????A????????A??.
定理 3.2.3 设A是实对称矩阵,则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交.
证 设?1,?2是A的两个不同的特征值,x1,x2分别是属于?1,?2的特征向量,
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
则Ax1??1x1,Ax2??2x2.定义线性变换?如定理3.2.2中的(3-2-1),于是
Ax,Ax2??2x2.由?Ax1,x2???x1,Ax2?,有?1?x1,x2???2?x1,x2?.因为?1??2,1??1x1所以?x1,x2??0.即x1,x2正交.
定理 3.2.4 对任意一个n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵P,使
P?AP?P?1AP成为对角形且对角线上的元素为A的特征值.
证 设A的互不相等的特征值为?1,?2,r1,r2,,rs?r1?r2?,?s(s?n),它们的重数依次为
,s),恰有ri个线性无关的
?rs?n?.则对应特征值?i(i?1,2,实特征向量,把它们正交化并单位化,即得ri个单位正交的特征向量,由
r1?r2??rs?n知,这样的特征向量共可得n个.由定理3知对应于不同特征值的
特征向量正交,故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵P,则P?AP?P?1AP??,其对角矩阵?中的对角元素含r1个?1,…,rs个?s,恰是A的n个特征值.
3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例
定理3.2.4说明,对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在,使它化为对角形.定理3.2.4的证明过程也给出了将实对称矩阵A对角化找出正交阵P的方法,具体步骤如下：
?1?求出实对称矩阵的A全部特征值?1,?2,,?s.
?2?对每个?i(i?1,2,,s),由??iE?A?X?0求出的特征向量.
?3?用施密特正交法,将特征向量正交化,再单位化,得到一组正交的单位向量
组.
?4?以这组向量为列,作一个正交矩阵P,它就是所要求的正交阵.
根据上述讨论,下面举例说明.
?400?例 3.2.1 求一正交矩阵P,将实对称矩阵A??031?化为对角阵.
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正交矩阵与酉矩阵的性质和应用
4??03??1013???(??2)(??4)2,A的特征值为?1?2,
解 由于A??E?00?2??3?4.
?0?对?1?2,由?A?2E?x?0得基础解系?1??1?;
????1????0??1?对?2??3?4,由?A?4E?x?0得基础解系?2??0?,?3??1?,?2与?3恰好正交,
?????1??0?????所以?1,?2,?3两两正交.
再将?1,?2,?3单位化,令?i??i?i?1,2,3?得?i?0??1??0????? ?,?1??12?,?2??0??12???3????????0???12??12?10??0??于是得正交阵P???1,?2,?3???12012?,
???12012???200? 则P?1AP??040?.
???004????2?1?n例 3.2.2 设A???,求A.
??12?解 ?1?先将A对角化求出正交阵P.
A??E?2???1?(??1)(??3)?0,?1?1,?2?3.
?12???1?1?由?A?E?x?0,?A?3E?x?0分别得基础解系?1???,?2??. ???1???1??10??11??11?11??1则P???1,?2???,,则??PAP?P???. ???2?1?1??03??1?1? 第 24 页 共 64 页