22?2.k??12 所以
?x2y2y?2x代入椭圆方程得?（2）直线PA的方程42?1, x??2,2424解得
3因此P(3,3),A(?3,?3). 0?43?1,故直线AB的方程为C(2,0),2?2x?y?23?0.于是3直线AC的斜率为33
|2?4?2|因此,d?3332211?12?3.
（3）解法一：
x24?y22?1,解得x??22将直线PA的方程y?kx代入
1?2k2,记?1?2k2,
则P(?,?k),A(??,??k),于是C(?,0)
0??kk故直线AB的斜率为
????2, y?k2(x??),代入椭圆方程得(2?k2)x2?2?k2x??2(3k2?2)?0,其方程为
x??(3k2?2)2,解得
2?k2或x???因此B(?(3k2?2)?k32?k2?k2).
?k3k2?k2??kk3?k(2?k2)11??(3k2?2)?3k2?2?(2?k2)??k.于是直线PB的斜率
2?k2
因此k1k??1,所以PA?PB. 解法二：
设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1?0,x2?0,x1?x2,A(?x1,?y1),C(x1,0).
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设直线PB，AB的斜率分别为k1,k2因为C在直线AB上，所以从而
k2?0?(y1)yk?1?.x1?(?x1)2x12
k1k?1?2k1k2?1?2?y2?y1y2?(?y1)??1x2?x1x2?(?x1)
2222y2?2y12(x2?2y2)4?4?2?1???0.22222x2?x1x2?x1x2?x1
因此k1k??1,所以PA?PB.
27.（安徽理21）设???，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y?x上运动，点Q满足
?BQ??QA，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP,求
点P的轨迹方程。
本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.
解：由QM??MP知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设
P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2?y0??(y?x2),则y0?(1??)x2??y. ①
再设
B(x1,y1),由BQ??QA,即(x?x1.y0?y1)??(1?x,1?y0),
?x1?(1??)x??,?y?(1??)y0??.解得?1 ②
将①式代入②式，消去
y0，得
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?x1?(1??)x??,?22?y1?(1??)x??(1??)y??. ③
222y?xy?xy?x1111又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得
(1??)2x2??(1??)y???((1??)x??)2,(1??)2x2??(1??)y???(1??)2x2?2?(1??)x??2,2?(1??)x??(1??)y??(1??)?0.
因??0,两边同除以?(1??),得2x?y?1?0.故所求点P的轨迹方程为y?2x?1.
28.
（北京理19）
x2G:?y2?122x?y?1的切线I交椭圆G于A，B两点. 4已知椭圆.过点（m,0）作圆
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （II）将
AB表示为m的函数，并求
AB的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得a?2,b?1, 所以
c?a2?b2?3.
所以椭圆G的焦点坐标为(?3,0),(3,0)
e?离心率为
c3?.a2
（Ⅱ）由题意知，|m|?1.
当m?1时，切线l的方程x?1，点A、B的坐标分别为此时|AB|?(1,33),(1,?),22
3
3
当m=－1时，同理可得|AB|?当|m|?1时，设切线l的方程为y?k(x?m),
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?y?k(x?m),?2得(1?4k2)x2?8k2mx?4k2m2?4?0?x2??y?1.由?4
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)，则
4k2m2?4x1?x2?,x1x2?1?4k21?4k2
x2?y2?1相切,得又由l与圆所以
8k2m|km|k2?1
?1,即m2k2?k2?1.
|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2264k4m?4(4k2m2?4)?(1?k)[?]222(1?4k)1?4k?43|m|.m2?3
由于当m??3时，|AB|?3,
|AB|?所以
43|m|,m?(??,?1]?[1,??)2m?3.
|AB|?因为
43|m|?2m?3433|m|?|m|?2,
且当m??3时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
29.（福建理17）已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。 解法一：
（I）依题意，点P的坐标为（0，m）
0?m?1??1MP?l因为，所以2?0，
解得m=2，即点P的坐标为（0，2） 从而圆的半径
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r?|MP|?(2?0)2?(0?2)2?22,22(x?2)?y?8. 故所求圆的方程为
（II）因为直线l的方程为
y?x?m,
所以直线l'的方程为y??x?m.
?y'??x?m,得x2?4x?4m?0?2x?4y由? ??42?4?4m?16(1?m)
（1）当m?1,即??0时，直线l'与抛物线C相切 （2）当m?1，那??0时，直线l'与抛物线C不相切。 综上，当m=1时，直线l'与抛物线C相切； 当m?1时，直线l'与抛物线C不相切。 解法二：
2?2(x?2)?y?r. （I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为
依题意，所求圆与直线l:x?y?m?0相切于点P（0，m），
?4?m2?r2,??|2?0?m|?r,?2则?
??m?2,??r?22. 解得?22(x?2)?y?8. 所以所求圆的方程为
（II）同解法一。
30.（广东理19）
2222(x?5)?y?4,(x?5)?y?4中的一个内切，另一个外切。 设圆C与两圆
（1）求C的圆心轨迹L的方程;
3545,),F(5,0)MP?FP55（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P
(的坐标．
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