33.（辽宁理20）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．
e?（I）设
12，求BC与AD的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．
解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
x2y2b2y2x2C1:2?2?1,C2:4?2?1,(a?b?0)abaa
设直线l:x?t(|t|?a)，分别与C1，C2的方程联立，求得
A(t,a22ba?t),B(t,a2?t2).ba ………………4分
13e?时,b?a,分别用yA,yB22当表示A，B的纵坐标，可知
2|yB|b23|BC|:|AD|??2?.2|yA|a4 ………………6分
（II）t=0时的l不符合题意.t?0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN-相等，即
b22a22a?ta?ta?b,tt?a
ab21?e2t??2??2?a.2a?be解得
1?e22|t|?a,又0?e?1,所以2?1,解得?e?1.2e因为
0?e?所以当
22时，不存在直线l，使得BO//AN；
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2?e?12当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分
34.（全国大纲理21）
y2C:x??12已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直????????????线l与C交于A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.
2（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 解：
（I）F（0，1），l的方程为y??2x?1，
y2x??12代入并化简得
24x2?22x?1?0.
设
…………2分
A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),
x1?2?62?6,x2?,44
2,y1?y2??2(x1?x2)?2?1,2 x3??(x1?x2)??2,y3??(y1?y2)??1.2
则
x1?x2?由题意得
(?所以点P的坐标为
2,?1).2 (?2,?1)2满足方程
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- 17 -
经验证，点P的坐标为
y2x??1,2故点P在椭圆C上。
2…………6分
P(? （II）由
22Q(,1),?1)22和题设知，
PQ的垂直平分线1的方程为
ly??2x.2
①
M(设AB的中点为M，则
21,)42，AB的垂直平分线为l2的方程为
y?21x?.24
②
由①、②得
l1,l2的交点为
N(?21,)88。
…………9分
|NP|?(?2221311?)?(?1?)2?,288832,2|AB|?1?(?2)2?|x2?x1|?|AM|?32,4|MN|?(22211233?)?(?)?,48288311,8
|NA|?|AM|2?|MN|2?故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分 35.（全国新课标理20）
????????在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线y??3上，M点满足MB//OA，
????????????????MA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．
（I）求C的方程；
（II）P为C上动点，l为C在点P处的切线，求O点到l距离的最小值．
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(20）解：
(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).
uuuruuuruuur所以MA=（-x，-1-y）， MB=(0，-3-y)， AB=(x，-2).
uuuruuuruuur再由题意可知（MA+MB）? AB=0， 即（-x，-4-2y）? (x，-2)=0.
12所以曲线C的方程式为y=4x-2.
1112'(Ⅱ)设P(x0，y0)为曲线C：y=4x-2上一点，因为y=2x，所以l的斜率为2x0
y?y0?1x0(x?x0)2xx?2y?2y?x200?0． ，即0y0?12x0?24，所以
因此直线l的方程为
d?则O点到l的距离
2|2y0?x0|x?420.又
12x0?41422d??(x0?4?)?2,22x0?42x0?4
2x0当=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
36.（山东理22）
x2y2??1?x,y??x,y?l32已知动直线与椭圆C: 交于P11、Q22两不同点，且△OPQ的面积6S?OPQ2=,其中O为坐标原点.
2222x?xy?y2和12均为定值; （Ⅰ）证明1（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|?|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得的形状；若不存在，请说明理由.
S?ODE?S?ODG?S?OEG?62?若存在，判断△DEG
（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称， 所以
x2?x1,y2??y1.
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因为
P(x1,y1)在椭圆上，
x221?y1因此32?1
①
S又因为
?OPQ?62,
|x所以
1|?|y1|?62.
②
|x6由①、②得
1|?2,|y1|?1.
此时
x21?x22?3,y221?y2?2, （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m,
x2?y2?1由题意知m?0，将其代入32，得
(2?3k2)x2?6kmx?3(m2?2)?0，
其中
??36k2m2?12(2?3k2)(m2?2)?0, 即3k2?2?m2
…………（*）
x?x??6km3(m2?2)又122?3k2,x1x2?2?3k2,
|?1?k2?(x2263k2?2?m2|PQ1?x2)?4x1x2?1?k2?所以2?3k2,d?|m|因为点O到直线l的距离为
1?k2, S所以
?OPQ?12|PQ|?d
?1222263k?2?m|m|21?k?2?3k2?1?k2 6|m|3k2?2?m2?2?3k2
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