又
S?OPQ?6,2
223k?2?2m,且符合（*）式， 整理得
6km3(m2?2)x2?x2?(x22x2此时121?x2)?1x2?(?2?3k2)?2?2?3k2?3,
y2?y22212?3(3?x222221)?3(3?x2)?4?3(x1?x2)?2.
综上所述，
x21?x22?3;y221?y2?2,结论成立。 （II）解法一：
（1）当直线l的斜率存在时，
|OM|?|x由（I）知
1|?62,|PQ|?2|y1|?2,
|OM|?|PQ|?62?2?6.因此
（2）当直线l的斜率存在时，由（I）知
x1?x232?k2m,
y1?y22?k(x1?x22)?m??3k22m?m??3k2?2m22m??m,|OM|2?(x1?x22y1?y229k216m2?2)?(2)?2114m2?m2?4m2?2(3?m2),22|PQ|2?(1?k2)24(3k?2?m)2(2m2?1)1(2?3k2)2?m2?2(2?m2),
|OM|2?|PQ|2?12?(3?11所以
m2)?2?(2?m2)
?(3?1m2)(2?1m2)3?11?(m2?2?m2)2?25.
24 |OM|?|PQ|?523?1m?1所以
2?2m2,即m??2，当且仅当时，等号成立.
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5.2综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
2222224|OM|?|PQ|?(x?x)?(y?y)?(x?x)?(y?y)12122121因为
22?2[(x12?x2)?(y12?y2)] ?10.
4|OM|2?|PQ|2102|OM|?|PQ|???5.25所以 |OM|?|PQ|?即
5,2当且仅当2|OM|?|PQ|?5时等号成立。
5.2因此 |OM|·|PQ|的最大值为
（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
S?ODE?S?ODG?S?OEG?6.2 62，
证明：假设存在由（I）得
D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2)满足S?ODE?S?ODG?S?OEG?2222u2?x12?3,u2?x2?3,x12?x2?3;v2?y12?2,v2?y2?2,y12?y2?2,322解得u2?x12?x2?;v2?y12?y2?1.25因此u,x1,x2只能从?中选取,v,y1,y2只能从?1中选取,2(?因此D，E，G只能在
6,?1)2这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与
S?ODE?S?ODG?S?OEG?62矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. 37.（陕西理17）
22x?y?25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且如图，设P是圆
MD?4PD5
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（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
4（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为5的直线被C所截线段的长度
解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）
?xp?x,??5yp?y,??4由已知得
22?5?xyx??y??25??14??2516∵P在圆上， ∴ ，即C的方程为
2244y??x?3?5（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为5的直线方程为，
设直线与C的交点为
A?x1,y1?,B?x2,y2?
y?将直线方程
24?x?3?5代入C的方程，得
x2?x?3???12x2525 即?3x?8?0
x1?3?413?41,x2?22 ∴ 线段AB的长度为
22∴
AB??x1?x2???y1?y2?41412?16???1???x1?x2???41?255 ?25?注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。
38.（上海理23） 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l)。
（1）求点P(1,1)到线段l:x?y?3?0(3?x?5)的距离d(P,l)； （2）设l是长为2的线段，求点集D?{P|d(P,l)?1}所表示图形的面积；
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（3）写出到两条线段
l1,l2距离相等的点的集合??{P|d(P,l1)?d(P,l2)}，其中
l1?AB,l2?CD，
A,B,C,D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,0)。 ② A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。 ③ A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。
解：⑴ 设Q(x,x?3)是线段l:x?y?3?0(3?x?5)上一点，则
A-1y1B1O-1x59|PQ|?(x?1)2?(x?4)2?2(x?)2?(3?x?5)22，当
x?3时，
d(P?,l)m?i|Pn Q|。5⑵ 设线段l的端点分别为A,B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系， 则A(?1,0),B(1,0)，点集D由如下曲线围成
l1:y?1(|x|?1),l2:y??1(|x|?1)C1:(x?1)2?y2?1(x??1),C2:(x?1)2?y2?1(x?1)
其面积为S?4??。
，
1,0)，??{(x,y)|x?0} ⑶ ① 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。 ② 选择A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(???{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y2?4x,?2?y?0}?{(x,y)|x?y?1?0,x?1}
③ 选择A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)。
??{(x,y)|x?0,y?0}?{(x,y)|y?x,0?x?1}
?{(x,y)|x2?2y?1,1?x?2}?{(x,y)|4x?2y?3?0,x?2}
yC3Ay3CA用心 爱心 专心 y2.5- 24 -
39.（四川理21）
椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
322（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；
????????（II）当点P异于A、B两点时，求证：OP?OQ为定值。
y2?x2?1解：由已知可得椭圆方程为2，设l的方程为y?1?k(x?0),k为l的斜率。
2k??y?kx?1x?x????2?122?k222?(2?k)x?2kx?1?0???y2??x?1?xx??1?212?2?k2?则
224?y?y?2?1?2?k2?2?yy??2k?212?2?k2 ?8k2?88k4?8k292(x1?x2)?(y1?y2)????k?2?k??22222(2?k)(2?k)2
?l的方程为y??2x?1
F,F40.（天津理18）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，12分别为椭
用心 爱心 专心
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