（1）解：设C的圆心的坐标为(x,y)，由题设条件知
|(x?5)2?y2?(x?5)2?y2|?4,x2?y2?1.化简得L的方程为4
（2）解：过M，F的直线l方程为y??2(x?5)，将其代入L的方程得
15x2?325x?84?0.
x1?65145652514525,x2?,故l与L交点为T1(,?),T2(,).515551515
解得
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
|MT1|?|FT1|?|MF|?2,
|MT2|?|FT2|?|MF|?2.|MP|?|FP|?|MF|?2.故
，若P不在直线MF上，在?MFP中有
|MP|?|FP|只在T1点取得最大值2。
31.（湖北理20）
平面内与两定点A1(?a,0)，A2(a,0)(a?0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系； （Ⅱ）当m??1时，对应的曲线为
C1；对给定的m?(?1,0)U(0,??)，对应的曲线为
C2，
F1设
FC、2是2的两个焦点。试问：在
C1撒谎个，是否存在点N，使得△
F1NF2的面积
用心 爱心 专心 - 11 -
S?|m|a。若存在，求tan2F1NF2的值；若不存在，请说明理由。
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为(x,y)，
2 当x??akk?yyy时，由条件可得
MA1?MA2x?a?x?a?x2?a2?m,
即
mx2?y2?ma2(x??a)， 又
A1(?a,0),A2(A,0)的坐标满足mx2?y2?ma2,
故依题意，曲线C的方程为
mx2?y2?ma2. x2y2当m??1时,曲线C的方程为a2??ma2?1,C是焦点在y轴上的椭圆；
当m??1时，曲线C的方程为x2?y2?a2，C是圆心在原点的圆；
x21?m?0?y2?1当?时，曲线C的方程为a2?ma2，C是焦点在x轴上的椭圆；x2y2当m?0时，曲线C的方程为a2?ma2?1,C是焦点在x轴上的双曲线。
（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为
x2?y2?a2; 当m?(?1,0)?(0,??)时， C2的两个焦点分别为
F1(?a1?m,0),F2(a1?m,0).
对于给定的m?(?1,0)?(0,??)，
C1上存在点N(x0,y20)(y0?0)使得S?|m|a的充要条件是 ?① ?x2y20?0?a2,y0?0,??1?2?2a1?m|y|?|m|a20.②
|y|m|a0|?由①得
0?|y0|?a,由②得
1?m.
用心 爱心 专心 - 12 -
0?|m|a1?m?a,即1?5当
2?m?0,
0?m?1?5或
2时，
存在点N，使S=|m|a2；
|m|am?a,即-1 m?1?5或 2时， 不存在满足条件的点N， m???1?5,0???1?5?当 ?2?????0,?2??时， ????????由 NF?(?a1?m?x?y?100),NF2?(a1?m?x0,?y0)， ????可得 NF1?????NF?2?x20?(1?m)a2?y220??ma, 令 |????NF?????1|?r1,|NF2|?r2,?F1NF2??， ??????????rma2NF2则由 1?NF21r2cos???ma,可得r1r2??cos?， S?1rma2sin???11r2sin???ma2tan?从而22cos?2， 于是由S?|m|a2， ?1ma2tan??|m|a2,即tan???2|m|可得2m. 综上可得： m???1?5?当?2,0???时，在C1上，存在点N，使得S?|m|a2,且tanF1NF2?2; m???0,1?5?当??2??时，在C1上，存在点N，使得 S?|m|a2,且tanF1NF2??2;m(?1,1?5当 2)?(1?52,??)时，在C1上，不存在满足条件的点N。 用心 爱心 专心 - 13 - 32.（湖南理21） x2y23C1:2?2?1(a?b?0)2C:y?x?b截得的ab22如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 线段长等于C1的长半轴长。 （Ⅰ）求C1，C2的方程； （Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E． （i）证明：MD⊥ME; （ii）记△MAB,△MDE的面积分别是 S1,S2．问：是 S117?S32?请说明理由。 否存在直线l,使得2解 ： （ Ⅰ ） 由 题 意 知 e?c3?,从而a?2b,又2b?a,解得a?2,b?1.a2 x2?y2?1,y?x2?1.故C1，C2的方程分别为4 （Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y?kx. ??y?kx?y?x2?1??由得 x2?kx?1?0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根，于是 x1?x2?k,x1x2??1. 又点M的坐标为（0，—1），所以 2y1?1y2?1(kx1?1)(kx2?1)kx1x2?k(x1?x2)?1????x1x2x1x2x1x2 kMA?kMB??k2?k2?1?1??1. 故MA⊥MB，即MD⊥ME. ??y?k1x?1,y?k1x?1,由?2y?x?1??（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得 用心 爱心 专心 - 14 - ??x?0或??y??1?x?k,?y?k21?1 则点A的坐标为 (k1,k21?1). ?1又直线MB的斜率为 k1， (?1同理可得点Bk,12?1).的坐标为 1k1 S112111?k211?于是 2|MA|?|MB|?21?k1?|k1|?1?k1?|?|?1k12|k1| ???y?k1x?1,由??x2?4y2?4?022得(1?4k1)x?8k1x?0. ???x?0,?x?8k12,1或?1?4k1?y????2y?4k1?1解得 ??1?4k21 (8k214k1?1则点D的坐标为1?4k2,11?4k2).1 ?1?8k2(14?k12,2).又直线ME的斜率为k，同理可得点E的坐标为4?k14?k1 S?132(1?k21)?|k1|2于是 2|MD|?|ME|?(1?k221)(k1?4). S11因此S?264(4k241?k2?17).1 1(4k24?17)?17,解得k211?21?4,或k21由题意知， 64k?.1324 k211??k2k1?k131?,所以k1kk??.1?12又由点A、B的坐标可知， k1 y?32x和y??3故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为 2x.用心 爱心 专心 - 15 -