x2y2?2?12FPFb圆a的左右焦点．已知△12为等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
??????????PFPFA,B2与椭圆相交于2上的点，满足AM?BM??2，求（Ⅱ）设直线两点，M是直线
点M的轨迹方程．
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代
数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
（I）解：设
F1(?c,0),F2(c,0)(c?0) |PF2|?|F1F2|,
由题意，可得即(a?c)2?b2?2c.ccc2()2??1?0,得??1aa整理得a（舍）， c11?.e?.2 或a2所以
（II）解：由（I）知a?2c,b?3c, 可得椭圆方程为3x?4y?12c, 直线PF2方程为y?3(x?c).
222??3x?4y?12c,??y?3(x?c). A，B两点的坐标满足方程组?2消去y并整理，得5x?8cx?0.
2228x1?0,x2?c.5 解得
8?x?c,2?x?0,?51????y??3c,?1?y?33c.?2?5 ? 得方程组的解
833A(c,c),B(0,?3c)5不妨设5
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??????833????(x,y),则AM?(x?c,y?c),BM?(x,y?3c)55设点M的坐标为， y?3(x?c),得c?x?由
3y.3
?????833833AM?(y?x,y?x),15555于是
???????????????BM?(x,3x).由AM?BM??2,
833833y?x)?x?(y?x)?3x??215555即， (218x?163xy?15?0. 化简得
18x2?15310x2?5y?代入c?x?y,得c??0.316x163x将
所以x?0.
218x?163xy?15?0(x?0). 因此，点M的轨迹方程是
41.（浙江理21）
223CCyx?(y?4)?1的圆心为点M x21已知抛物线:＝，圆:
（Ⅰ）求点M到抛物线
c1的准线的距离；
c1上一点（异于原点）cc，过点P作圆2的两条切线，交抛物线1于A，
（Ⅱ）已知点P是抛物线
B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
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y??1, （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 4 17.所以圆心M（0，4）到准线的距离是4
222（II）解：设
P(x0,x0),A(x1,x1),B(x2,x2)， 则题意得
x0?0,x0??1,x1?x2，
设过点P的圆C2的切线方程为y?x20?k(x?x0)， 2即
y?kx?kx0?x0 ①
|kx?x20?40|则1?k2?1,
即
(x20?1)k2?2x2220(4?x0)k?(x0?4)?1?0， 设PA，PB的斜率为
k1,k2(k1?k2)，则k1,k2是上述方程的两根，所以
k?k2x220(x0?4)x2,k(x0?4)2?112?1k2?x2.0?10?1 将①代入
y?x2得x2?kx?kx0?x20?0, 由于x0是此方程的根，
故
x1?k1?x0,x2?k2?x0，所以
2kAB?x21?x2x?x?x2x2x20(x0?4)0?412?k1?k2?2x0?2?2x0,kMP?.1?x2x0?1x0kAB?kMP?(2xx220(0?4)?2x)x0?4由MP?AB，得
x20?(??1)0?1x0，
x2230?5,解得
(?23即点P的坐标为
5,235)，
y??3115x所以直线l的方程为
115?4.
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42.（重庆理20）如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率
e???，一条准线的方程为
x???．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
uuuruuuruuur （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM??ON，其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON的
?PF??PF?F,FF,F斜率之积为?，问：是否存在两个定点??，使得为定值？若存在，求???的坐标；若不存在，说明理由．
c2a2e??,?22,a2c解：（I）由
解得a?2,c?2,b2?a2?c2?2，故椭圆的标准方程为
x2y2??1.42
（II）设
P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2)，则由
?????????????OP?OM?2ON得
(x,y)?(x1,y1)?2(x2,y2)?(x1?2x2,y1?2y2),即x?x1?2x2,y?y1?2y2.
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22x?2y?4上，所以 因为点M，N在椭圆
22x12?2y12?4,x2?2y2?4，
222222x?2y?(x?4x?4xx)?2(y?4y?4y1y2) 121212故
22?(x12?2y12)?4(x2?2y2)?4(x1x2?2y1y2) 设
?20?4(x1x2?2y1y2).
kOM,kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
kOM?kON?y1y21??,x1x22因此x1x2?2y1y2?0,
22x?2y?20. 所以
x2所以P点是椭圆(25)2?y2(10)2?1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆
，因此两焦点的坐标为
的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因
c?(25)2?(10)2?10F1(?10,0),F2(10,0).
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