梁老师奥数培优
目 录
行程综合????????????????????? 3 圆的周长和面积??????????????????14 解决问题的策略?????????????????? 21 行程问题????????????????????? 34 探索规律????????????????????? 47 工程问题????????????????????? 54 小学方程与应用题专题解析????????????? 66 小升初应用题解题指导课程????????????? 79
1 梁老师奥数培优
行程综合
【知识梳理】
基本公式：路程＝速度×时间 基本类型
相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程； 追及问题：速度差×追及时间＝路程差；
流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度＝船速＋水速 逆水速度＝船速－水速 静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2
（也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 时钟问题:时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这
里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
具体是：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
1分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度， 时针速度：每分钟走12小格，每分钟走0.5
度。
其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏； 复杂的行程 1、多次相遇问题； 2、环形行程问题；
3、运用比例、方程等解复杂的题；
【典例剖析】
2例1 甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的3,二人相遇后继续行进，
甲到B地、
2 梁老师奥数培优
乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，
那么，A、B
两地相距多少千米？
【分析】此题为直线型的多次相遇问题，我们可以借助图形和比例解题。
【解】如图：C为第一次相遇的地点，D为第二次相遇的地点，将AC作为3份，则CB是
2份
第一次相遇，甲、乙共走一个AB，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个
AB，因此，
乙应走CB的2倍，即4份，从而AD是1份，DC是2份（＝3－1）。 但已知DC是20千米，所以AB的长度是20÷2×（2+3）＝50（千米） 答：A、B两地相距50千米。 反馈练习：
1、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回
原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。
例2 甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,
3 梁老师奥数培优
丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米？
【分析】这是择校考常考题，本题有两种解答方法。 【解】
解法一 依题意,作线段图如下:
甲 2分钟 丙 A B 乙
丙遇到乙后2分钟再遇到甲,2分钟甲、丙两人共走了(50+70)×2=240(米), 这就是乙、丙相遇时乙比甲多走的路程.又知乙比甲每分钟多走60-50=10(米).
由此知乙、丙从出发到相遇所用的时间是240÷10=24(分). 所以,A、B两地相距(60+70)×24=3120(米).
解法二 甲、丙相遇时,甲、乙两人相距的路程就是乙、丙相背运动的路程和,即(60+70)
×2=260(米).
甲、乙是同时出发的,到甲、丙相遇时,甲、乙相距260米,所以,从出发到甲、丙相遇需
260÷(60-50)=26(分).
所以, A、B两地相距 (50+70)×26=3120(米).
答：A、B两地相距 3120米
例3 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙
每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
【分析】这是一道环形跑道的多次相遇问题。要知道甲还需跑多少米才能回到出发点，实质上只要知道甲
最后一次离开出发点又跑出了多少米。我们先来看看甲从一开始到与乙第十次相遇
4 梁老师奥数培优
时共跑了多
远。不难知道，这段时间内甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍（300×10=3000米）。因
为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，由上一讲我们可以知道，这段时间内
甲共行1400米知道甲还需行
?(3000?3.5)米3.5?4，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200
100（=300-200）米。
1400÷300=4（圈）??200（米） 300-200=100（米）
答：甲还需跑100米才能回到出发点.
反馈练习：
2、如下图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C
点第一次
相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。
例4 有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发
5