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解答： 解：∵，⊙O的直径AB与弦CD垂直， ∴=， ∴∠BOD=2∠BAC=80°． 故答案为：80°． 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 36、（2013?娄底）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB= 30° ．
考点： 圆周角定理． 分析： 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案． 解答： 解：由题意得，∠AOB=60°， 则∠APB=∠AOB=30°． 故答案为：30°． 点评： 本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理的内容． 37、（2013?佛山）图中圆心角∠AOB=30°，弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD= ．
分析：根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°﹣30°=30°． 解：解：∵CA∥OB，∴∠CAO=∠AOB=30°，
∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=30°，∴∠AOD=2∠C=60°，∴∠BOD=60°﹣30°=30°．故答案为30°．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所
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对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质． 38、（2013甘肃兰州4分、18）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3
度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒，点E在量角器上对应的读数是 度．
考点：圆周角定理．
分析：首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数． 解答：解：连接OE， ∵∠ACB=90°， ∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵∠ACE=3×24=72°， ∴∠AOE=2∠ACE=144°． ∴点E在量角器上对应的读数是：144°． 故答案为：144．
点评：本题考查的是圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 39、（2013?呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 （0，12）或（0，﹣12） ． 考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理． 分析： 如解答图所示，构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与y轴的交点即为所求的点C． 注意点C有两个． 解答： 解：设线段BA的中点为E， ∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）． （1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=； 以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
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∵∠BCA为⊙P的圆周角， ∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求． 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1， 在Rt△PFC中，PF=1，PC=，由勾股定理得：CF==7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点C坐标为（0，12）； （2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）． 综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）． 故答案为：（0，12）或（0，﹣12）． 点评： 本题难度较大．由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在． 40、(2013年江西省)如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图． ．．． （1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；
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（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
【答案】 （1）如图1，点P就是所求作的点；
（2）如图2，CD为AB边上的高.
【考点解剖】 本题属创新作图题，是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、读图能力，题（1）是要作点，题（2）是要作高，都是要解决直角问题，用到的知识就是“直径所对的圆周角为直角”．
【解题思路】 图1点C在圆外，要画三角形的高，就是要过点B作AC的垂线，过点A作BC的垂线，但题目限制了作图的工具（无刻度的直尺，只能作直线或连接线段），说明必须用所给图形本身的性质来画图（这就是创新作图的魅力所在），作高就是要构造90度角，显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90度”.设AC与圆的交点为E, 连接BE,就得到AC边上的高BE；同理设BC与圆的交点为D, 连接AD,就得到BC边上的高AD，则BE与AD的交点就是△ABC的三条高的交点；题（2）是题（1）的拓展、升华，三角形的三条高相交于一点，受题（1）的启发，我们能够作出△ABC的三条高的交点P，再作射线PC与AB交于点D，则CD就是所求作的AB边上的高． 【解答过程】 略.
【方法规律】 认真分析揣摩所给图形的信息，结合题目要求思考. 【关键词】 创新作图 圆 三角形的高 41、（2013?苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．
考点： 切线的性质；圆周角定理． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
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专题： 计算题． 分析： （1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证； （2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长． 解答： （1）证明：连接OE， ∵AC与圆O相切， ∴OE⊥AC， ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC， 又∵O为DB的中点， ∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线， ∴OE=BF， 又∵OE=BD， 则BF=BD； （2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x， 又∵CF=1， ∴BF=3x+1， 由（1）得：BD=BF， ∴BD=3x+1， ∴OE=OB=∵OE∥BF， ∴∠AOE=∠B， ，AO=AB﹣OB=5x﹣=， ∴cos∠AOE=cosB，即=，即=， 解得：x=， 则圆O的半径为=． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com