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考点：（1）圆周角定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定
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分析：连接CD、BE，利用直径所对圆周角90、证明△ADC≌△AEB得AB=AC，（2）利用△OBD∽△ABC得
BDBO得BC=4再求AB=10从而 AD=AB—BD=6此题利用相似三角形的判?BCAB定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
解答：(1)证明：连接CD、BE ∵BC为半圆O的直径．
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∴∠BDC=∠CEB=90
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∴∠LADC=∠AEB=90 又∵AD=AE ∠A=∠A ∴△ADC≌△AEB ∴AB=AC (2)解：连接0D ∵OD=OB．∴∠OBD=∠ODB ∵AB=AC ∴∠0BD=∠ACB ∴∠ODB=∠ACB 又∵∠OBD=∠ABC．∴△OBD∽△ABC ∴BDBO． ?BCAB ∵BO?25∴BC=4．又∵BD=4∴ ∴AB=10 ∴AD=AB—BD=6 445?25 AB
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47、（2013?恩施州）如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G． （1）求证：CG是⊙O的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
考点： 切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF； （3）在Rt△ADF中，由于∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF 然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可． 解答： （1）证明：连结OC，如图， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线； （2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF； 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
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（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=DF=， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即∴AG=2． ：AG=1：2， 点评： 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定． 48、（2013?资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数． 考点： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解； （2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到的圆周角减去所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对所对的圆周角，计算即可得解． 解答： 解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E， 则AE=AC=×2=1， 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
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∵翻折后点D与圆心O重合， ∴OE=r， 在Rt△AOE中，AO=AE+OE， 即r=1+（r）， 解得r=； 222222 （2）连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=25°， ∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°， 根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角， ∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°． 点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键． 49、（2013?呼和浩特）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形． 分析： （1）由AD是△ABC的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，新课标第一网系列资料 www.xkb1.com
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即可判定点F是AD的中点； （2）首先连接DM，设EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由余弦的定义，即可求得答案； （3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）=k?（10+5k），解此方程即可求得答案． 解答： （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， 2∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点F是AD的中点； （2）解：连接DM， 设EF=4k，df=3k， 则ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM===k， ∴ME==k， ∴cos∠AED==； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE?BE， ∴（5k）2=k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5． 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com