图2.38 例题2.6图
解：
(1) 利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使A点有位移，为求出各杆的伸长，先求出各杆的轴力。在微小变形情况下，求各杆的轴力时可将角度的微小变化忽略不计。以节点A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A的平衡条件，有
?Fx?0，FNCsin30°?FNBsin45°?0
?F解得各杆的轴力为
y?0，FNCcos30°?FNBcos45°?F?0
FNB?0.518F?15.53(kN)， FNC?0.73F2?21.9 6kN(2) 计算杆AB和AC的伸长。利用胡克定律，有
FNBlB15.53?103?2?lB???1.399(mm)
?EAB200?109??(0.01)24FNClC21.96?103?0.8?2?lC???1.142(mm)
?EAC92200?10??(0.014)4(3) 利用图解法求A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB和AC伸长后的点A1和A2作二杆的垂线，相交于点A??，再过点A??作水平线，与过点A的铅垂线交于点
A?，则AA?便是点A的铅垂位移。由图中的几何关系得
?l?lB?cos(45°??)， C?cos(3°?0? )AA??AA??可得
tan??0.12， ??6.8°7
AA???1.778(mm)
所以点A的铅垂位移为
??AA??cos??1.778cos6.87°?1.765(mm)
从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指
构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。
【例题2.11】 两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力F(如图2.37(a)所示)，杆的拉压刚度为EA，试求两端的支反力。
解：根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下列3个方面来分析。
图2.38 例题2.11图
(1) 静力方面。杆的受力如图2.38(b)所示。可写出一个平衡方程为
?Fy?0，FRA?FRB?F?0 (a)
(2) 几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B为多余约束，暂时将它解除，以未知力FRB来代替此约束对杆AB的作用，则得一静定杆(如图2.38(c)所示)，受已知力F和未知力FRB作用，并引起变形。设杆由力F引起的变形为?lF(如图2.38(d)所示)，由FRB引起的变形为?lB(如图2.38(e)所示)。但由于B端原是固定的，不能上下移动，由此应有下列几何关系
?lF??lB?0 (b)
(3) 物理方面。由胡克定律，有
?lF?将式(c)代入式(b)即得补充方程
FlFa，?lB??RB (c) EAEAFaFRBl??0 (d) EAEA最后，联立解方程(a)和(d)得
FbFa，FRB? ll求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和BC段的轴力。
FRA?【例题2.12】 有一钢筋混凝土立柱，受轴向压力P作用，如图2.39所示。E1、A1和E2、A2分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为
多少？
解：设钢筋和混凝土的内力分别为FN1和FN2，利用截面法，根据平衡方程
?Fy?0，FN1?FN2?P (a)
这是一次超静定问题，必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。由于立柱受力后缩短?l，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩短量应相等，可得变形几何方程为
?l1??l2 (b)
由物理关系知
?l1?FN1lFl ， ?l2?N2 (c) E1A1E2A2将式(c)代入式(b)得到补充方程为 FN1lFl?N2 (d) E1A1E2A2联立解方程(a)和(d)得
FN1?E1A1P?E1A1?E2A2E2A2P?E1A1?E2A2P E2A21?E1A1P E1A11?E2A2FN2?可见
FN1E1A1? FN2E2A2
图2.39 例题2.12图
即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压)刚度之比。
FE1P 又 ?1?N1?A1E1A1?E2A2?2?可见
FN2E2?P A2E1A1?E2A2?1E1? ?2E2即两种材料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。
【例题2.14】 如图2.42(a)所示，①、②、③杆用铰相连接，当温度升高?t?20°C时，求各杆的温度应力。已知：杆①与杆②由铜制成，E1?E2?100GPa，??30°，线膨胀 系
E3?200GPa，数?1??2?16.5?10?6/(°C)，A1?A2?200mm2；杆③由钢制成，其长度l?1m，
A3?100mm2，?3?12.5?10?6/(°C)。
解：设FN1、FN2、FN3分别代表三杆因温度升高所产生的内力，假设均为拉力，考虑A铰的平衡(如图2.42(b)所示)，则有
图2.42 例题2.14图
?Fx?0，FN1sin??FN2sin??0，得FN1?FN2 (a)
FN3 (b) 2cos??Fy?0，2FN1cos??FN3?0，得FN1??变形几何关系为
?l1??l3cos? (c)
物理关系(温度变形与内力弹性变形)为
?l1??1?tl?cos?FN1lcos? (d) E1A1?l3??3?tl?FN1l (e) E3A3将(d)、(e)两式代入(c)得
?1?t?FN1lFl?l????3?tl?N3?cos? (f) cos?E1A1cos??E3A3?联立求解(a)、(b)、(f)三式，得各杆轴力 FN3?1492N FN1?FN2??FN3??860N 2cos?杆①与杆②承受的是压力，杆③承受的是拉力，各杆的温度应力为
F860?1??2?N1????4.3(MPa)
A1200?3?FN31492??14.92(MPa) A3100【例题2.13】 两铸件用两钢杆1、2连接，其间距为l?200mm(如图41(a)所示)现需将
制造的过长?e?0.11mm的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行
且有间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d?10mm，铜杆横截面为20mm?30mm的矩形，钢的弹性模量E?210GPa，铜的弹性模量E3?100GPa。铸铁很厚，
其变形可略去不计。
解：本题中三根杆的轴力均为未知，但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。
因铸铁可视为刚体，其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。由于结构对称于杆3，故其变形关系如图2.41(c)所示。从而可得变形几何方程为
?l3??e??l1 (a)
图2.41 例题2.13图
物理关系为
FN1l (b) EAFl ?l3?N3 (c)
E3A3?l1?以上两式中的A和A3分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)中的l在理论上应是杆3的原长l??e，但由于?e与l相比甚小，故用l代替。
将(b)、(c)两式代入式(a)，即得补充方程
FN3lFl??e?N1 (d) E3A3EA在建立平衡方程时，由于上面已判定1、2两杆伸长而杆3缩短，故须相应地假设杆1、
2的轴力为拉力而杆3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图2.41(d)所示。由对称关系可知
FN1?FN2 (e)