图4.11 例题4.4图
【例题4.5】 如图4.12(a)所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：对于简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此，两支反力(如图4.12(a)所示)相等。
FA?FB?任意横截面x处的剪力和弯矩方程可写成
ql 2FS(x)?FA?qx?ql?qx (0≤x≤l) 2xqlxqx2 (0≤x≤l) M(x)?FAx?qx???222由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题4.4中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个点以上。
图4.12 例题4.5图
由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，MmaxFS?0；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，FS,max?ql2，而该截面上的?8ql(正值，负值)。 2【例题4.6】 如图4.13(a)所示的简支梁在C点处受集中荷载力F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：首先由平衡方程?MB?0和?MA?0分别算得支反力(如图4.13(a)所示)为
FbFa，FB?
ll由于梁在C点处有集中荷载力F的作用，显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯
FA?矩方程均不相同，故需将梁分为AC和CB两段，分别写出其剪力和弯矩方程。
图4.13 例题4.6图
对于AC段梁，其剪力和弯矩方程分别为
FS(x)?FA (0≤x≤a) (a) M(x)?FAx (0≤x≤a) (b)
对于CB段梁，剪力和弯矩方程为
FS(x)?FA?F??F(l?b)Fa (a≤x≤l) (c) ??llFa(l?x) (a≤x≤l) (d) lM(x)?FAx?F(x?a)?由(a)、(c)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于x轴的直线。由(b)、(d)两式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图4.13(b)和图4.13(c)所示。
由图可见，在b>a的情况下，AC段梁任一横截面上的剪力值为最大，FS,max?集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，Mmax?上的剪力值不相等。
【例题4.7】 图4.14(a)所示的简支梁在C点处受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解：由于梁上只有一个外力偶作用，因此与之平衡的约束反力也一定构成一反力偶，即A、B处的约束反力为
MMFA?e，FB?e
ll由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表示，即
M FS(x)?FA?e (0≤x?a) (a)
l而弯矩则要分段建立。
MAC段： M(x)?FA?ex (0≤x?a) (b)
lFb；而lFab；在集中荷载作用处左、右两侧截面lMe(l?x) (a?x≤l) (c) l由式(a)可知，整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。由(b)、(c)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各为一条斜直线。根据各方程的适用范围，就可分别绘出梁的剪力图和弯矩图(如图4.14(b)和图4.14(c)所示)。由图可见，在集中力偶作用处左、右两侧截面上的弯矩值
Mb有突变。若b>a，则最大弯矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上，Mmax?e(负值)。
lCB段： M(x)?FAx?Me??
图4.14 例题4.7图
【例题4.9】 图4.19(a)所示为一悬臂刚架，受力如图所示。试作刚架的内力图。
解：计算内力时，一般应先求支反力。但对于悬臂梁或悬臂刚架，可以取包含自由端部分为研究对象，这样就可以不求支反力。下面分别列出各段杆的内力方程为
FN(x)?0??FS(x)?qx??BC段： ? (0≤x≤l)
qx2?M(x)??2?????FS(x1)?F? BA段： ? (0≤x1≤l)2?qlM(x)??Fx1?2??FN(x1)??ql在BA段中假定截面弯矩使外侧受拉为正。
根据各段的内力方程，即可绘出轴力、剪力和弯矩图。如图4.19(b)、图4.19(c)和图4.19(d)所示。
qqlBxCqlqlAll (a) (a) (b) (b)xqlFN 图FS 图
(c)图4.19 例题4.9图
ql22qlxM图FN 图FS 图l
(b)(c)322ql
(c) (d) (d)
图4.19 (续)
【例题4.10】 一端固定的四分之一圆环在其轴线平面内受集中荷载F作用，如图4.20(a)所示。试作曲杆的弯矩图。
解：对于环状曲杆，应用极坐标表示其横截面位置。取环的中心O为极点，以OB为极轴，并用?表示横截面的位置(如图4.20(a)所示)。对于曲杆，弯矩图仍画在受拉侧。曲杆的弯矩方程为
?) 2在上式所适用的范围内，对?取不同的值，算出各相应横截面上的弯矩，连接这些点，
M(?)?Fx?FRsin? (0≤?≤即为曲杆的弯矩图(如图4.20(b)所示)，由图4.20可见，曲杆的最大弯矩在固定端处的A截面上，其值为FR。
xFBmφM图RACFRm
(a) (b) (a) (b)图4.20 例题 4.10 图
第五章 弯曲应力
【例题5.1】 受均布荷载作用的工字形截面等直外伸梁如图5.2(a)所示。试求当最大正应力?max为最小时的支座位置。
解：首先作梁的弯矩图(如图5.2(b)所示)，可见，支座位置a直接影响支座A或B处截面及跨度中央截面C上的弯矩值。由于工字形截面的中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应
M力相等，因此当截面的最大正、负弯矩相等时，梁的最大弯矩的绝对值为最小，即?max?maxWz为最小。建立 Mmax?Mmax
??
图5.2 例题5.1图
ql2qlaqa2 ??822得 a?(?1?2)l2 由于a应为正值，所以上式中根号应取正号，从而解得
a?0.207l
【例题5.2】 跨长l?2m的铸铁梁受力如图5.3(a)所示。已知材料的拉、压许用应力分别为[?t]?30MPa和[?c]?90MPa。试根据截面最为合适的要求，确定T型截面梁横截面的尺寸?(如图5.3(b)所示)，并校核梁的强度。
图5.3 例题5.2图
解：要使截面最为合理，应使梁的同一危险截面上的最大拉应力与最大压应力(如 图
My15.3(c)所示)之比?t,max?c,max与相应的许用应力之比[?t]/[?c]相等。由于?t,max?和
Iz