又因挠曲线为一光滑曲线，故在对称的挠曲线中，最大挠度必在梁跨中点x?l2处。所以其最大挠度值为
wmax?wl2x?ql2?3l2l3?5ql4 ??l?2l????24EI?48?384EI【例题6.2】 如图6.5所示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载F作用。
试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。
解：梁的两个支反力为
baFA?F，FB?F? (a)
ll对于Ⅱ和Ⅱ两段梁，其弯矩方程分别为
bM1?FAx?Fx (0≤x≤a) (b?)
lbM2?Fx?F(x?a) (a≤x≤l) (b??)
l分别求得梁段Ⅰ和Ⅱ的挠曲线微分方程及其积分，见表6.1。
表6.1 梁段Ⅰ和Ⅱ的挠曲线微分方程及其积分
梁段Ⅰ(0≤x≤a) 挠曲线微分方程： 梁段Ⅱ (a≤x≤l) 挠曲线微分方程： b????M2??Fx?F(x?a)EIw2l(c??) 积分一次： 积分一次： EIw???Fb?x?F(x?a)?C22l22(d??) 再积分一次： bx3F(x?a)3 EIw2??F???C2x?D2l66(e??) 22????M1??FEIw1b (c?) xl
???FEIw1(d?) bx2??C1l2
再积分一次： bx3EIw1??F??C1x?D1l6(e?)
图6.5 例题6.2图
在对梁段Ⅱ进行积分运算时，对含有(x?a)的弯矩项不要展开，而以(x?a)作为自变量进行积分，这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。
利用D点处的连续条件：
??w2?，w1?w2 在x?a处，w1将式，(d?)、(d??)和(e?)、(e??)代入上边界条件可得 C1?C2，D1?D2
如前所述，积分常数C1和D1分别等于EI?0和EIw0，因此有 C1?C2?EI?0，D1?D2?EIw0
由于图中简支梁在坐标原点处是铰支座，因此，w0?0，故D1?D2?0。另一积分常数C1?C2?EI?0，则可利用右支座处的约束条件，即在x?l处，w2?0来确定。根据这一边界条件，由梁段Ⅱ的式(e??)可得
EIw2即可求得
x?lbl3F(l?a)3??F???C2l?0
l66Fb2(l?b2) 6l将积分常数代入(d?)、(d??)、(e?)、(e??)四式，即得两段梁的转角方程和挠曲线方程，见表6.2。
表6.2 梁段Ⅰ和梁段Ⅱ的转角方程和挠曲线方程 C1?C2?EI?0?梁段Ⅰ?0≤x≤a? 转角方程： Fb???1?w12lEI梁段Ⅱ(a≤x≤l) 转角方程： Fb?? ?2?w22lEI?1222??3(l?b)?x???(f?) 挠曲线方程： Fbx2w1?[l?b2?x2] (g?) 6lEI 将x?0和x?l分别代入(f?)和(f??)两式，即得左、右两支座处截面的转角分别为
12?l22 (x?a)?x?(l?b2)??b?3?(f??) 挠曲线方程： Fb?l?w2?(x?a)3?x3?(l2?b2)x? (g??) ?6lEI?b?Fb(l2?b2)Fab(l?b) ?A??1x?0??0? ?6lEI6lEIFab(l?a) ?B??2x?l=?
6lEI当a?b时，右支座处截面的转角绝对值为最大，其值为
Fab(l?a)?max??B??
6lEI??0，由现确定梁的最大挠度。简支梁的最大挠度应在w??0处。先研究梁段Ⅰ，令w1式(f?)解得
l2?b2a(a?2b)? x1? (h) 33当a?b时，由式(h)可见x1值将小于a。由此可知，最大挠度确在梁段Ⅰ中。将x1值代入式(g?)，经简化后即得最大挠度为
wmax?wx1?x1?Fb93lEI(l2?b2)3 (i)
由式(h)可见，b值越小，则x1值越大。即荷载越靠近右支座，梁的最大挠度点离中点就越远，而且梁的最大挠度与梁跨中点挠度的差值也随之增加。在极端情况下，当b值甚小，以致b2与l2项相比可略去不计时，则从式(i)可得
Fbl2Fbl2?0.0642? wmax? (j)
EI93EI而梁跨中点C处截面的挠度为
Fbl2Fbl2 wC? ?0.0625?16EIEI在这一极端情况下，两者相差也不超过梁跨中点挠度的3%。由此可知，在简支梁中，不论它受什么荷载作用，只要挠曲线上无拐点，其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替，其精确度能满足工程计算的要求。
l当集中荷载F作用在简支梁的中点处，即a?b?时，则
2 ?maxFl2 ??16EIFl3 wmax?wC?
48EI【例题6.3】 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图6.6(a)所示。试按叠加原理求跨中
点的挠度和支座处截面的转角?A和?B。
图6.6 例题6.3图
解：梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图6.6(b)和图6.6(c)所示。由附录D可以查出两者分别作用时梁的相应位移值，然后按叠加原理，即得所求的位移值。
中点最大挠度为
wmaxMel25ql4?? 384EIz16EIMlql3??e 24EIz6EIMlql3???e
24EIz3EI?A??Aq??AM?B??Bq??BM【例题6.4】 一弯曲刚度为EI的外伸梁受荷载如图6.7(a)所示，试按叠加原理求C截面的挠度wC。
图6.7 例题6.4图
解：在附录D中给出的是简支梁或悬臂梁的挠度和转角，为此，将这外伸梁沿截面截开，看成是一简支梁和悬臂梁(如图6.7(b)和图6.7(c)所示)。其中，MB?Fl/2，F作用在B支座不会使梁产生弯曲变形；由附录D可分别查出由力偶矩MB和集中荷载2F引起的?B(如图6.7(d)和图6.7(e)所示)，得
Fl2 ?B1??8EIMl?B2?B
3EI由叠加原理得
?B??B1??B2Fl2MBl ???8EI3EI原外伸梁BC的C端挠度wC也可按叠加原理求得。由图6.7(a)、图6.7(b)和图 6.7(c)可见，由于截面B的转动，带动BC段作刚性转动，从而使C端产生挠度wC2，而由AB段本身弯曲变形引起的挠度，即为悬臂梁(如图6.7(b)所示)挠度wC1，因此，C端的总挠度为
wC?wC1?wC2Fl3l???B 24EI2将前面?B的结果代入上式，得
?Fl2MBl?lFl3Fl3 wC???????24EIz?8EI3EI?216EI【例题6.5】 一弯曲刚度为EI的悬臂梁受荷载如图6.8(a)所示，试按叠加原理求C截面的挠度和转角wC，?C。
解：求C截面的挠度和转角，可以将力F向C点简化，简化结果是作用在C处的一个
l力F和一个力矩MC(如图6.8(b)所示)，MC?F?。C截面的挠度和转角可以按叠加法求
2得(如图6.8(c)、图6.8(d)所示)，由附录D查得
Fl2 ?C1?8EIFl3 WC1?24EIFl2 ?C2?2EIFl3 WC2?8EI则C截面的挠度转角分别为
?C??C1??C25Fl2 ?8EIFl3 WC?WC1?WC2?6EI