?(D2?d2)476.32?68.72???2??0.385
4?d153.52上述数据充分说明，空心轴远比实心轴轻。
【例题3.3】 阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径d1?100mm，BC段直径d2?80mm。扭转力偶矩MA?14kN?m，MB?22kN?m，MC?8kN?m。已知材料的许用
切应力[?]?85MPa，试校核该轴的强度。
解：
(1) 作扭矩图。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩图如图3.18(b)所示。 (2) 强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。 AB段 ?1,maxT114?106N?mm???71.34(MPa)＜[?]
?WP1?(100mm)316T28?106N?mm???79.62(MPa)＜[?]
?WP23?(80mm)16BC段 ?2,max
图3.18 例题3.3图
因此，该轴满足强度要求。
【例题3.4】 一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩Me? 9.56kN?m，轴的内外直径之比??
1
。钢的许用切应力[?]?40MPa，切变模量G? 80GPa，2
许可单位长度扭转角[?]?0.3(?)/m。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。
图3.19 例题3.4图
解：
(1) 求扭矩T。用截面法截取左段为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得
T?Me?9.56kN?m
(2) 根据强度条件确定轴的外径。
?D3?D34由 WP?(1??)?1616和
Tmax≤[?] WP??1?4??D315? ?1?????21616??????16T16?(9.56?103N?m)?16得 D≥3?3?109?10?3m?109mm 46?(1??)[?]15?(40?10Pa)(3) 根据刚度条件确定轴的外径。
?D4?D44由 IP?(1??)?3216和 得
D≥4??1?4??D415? ?1?????23216??????Tmax180?≤[?] GIP?1801???[?]G?(1??4)32?T
32?(9.56?103N?m)?161801 ?4??(80?109Pa)??15?0.3(°)/m?125.5?10?3m?125.5mm所以，空心圆轴的外径不能小于125.5mm，内径不能小于62.75mm。
第四章 弯曲内力
【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。
解：静定梁的AC段为基本梁或主梁，CB段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离体求出支反力FB；然后，取整体为研究对象，求出A处的支反力FAx，FAy，MA。
图4.5 例题4.1图
(1) 取CB梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程 得
FB?29kN (2) 取整体为脱离体，如图4.5(a)所示，由平衡方程 得
FAy?81kN
?MC?0，FB?5?Me?q?3?2.5?0
?Fx?0，FAx?0
?Fy?0，FAy?FB?F?q?3?0
?MA?0，MRA?96.5kN?m
上述求得的约束反力为正值，说明假定的约束反力方向与实际情况一致。为了校核所得支反力是否正确，也可取AC梁为脱离体，验证所求的支反力是否满足平衡条件。
【例题4.2】 梁的计算简图如图4.8(a)所示。已知F1、F2，且F2?F1，以及尺寸a、b、l、c和d。试求梁在E、F点处横截面上的剪力和弯矩。
解：为求梁横截面上的内力——剪力和弯矩，首先求出支反力FA和FB(如图4.8(a)所示)。由平衡方程
?M和
解得
FA?A?0，FBl?F1a?F2b?0
?MB?0，?FAl?F1(l?a)?F2(l?b)?0
F1(l?a)?F2(l?b)Fa?F2b，FB?1
ll
图4.8 例题4.2图
当计算横截面E上的剪力FSE和弯矩ME时，将梁沿横截面E假想地截开，研究其左段梁，并假定FSE和ME均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程
?F可得
y?0，FA?FSE?0
FSE?FA
由 可得
?ME?0，ME?FAc?0
ME?FAc
结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向正确，即均为正值。读者可以从右段梁(如图4.8(c)所示)来计算FSE和ME以验算上述结果。
计算横截面F上的剪力FSF和弯矩MF时，将梁沿横截面F假想地截开，研究其右段梁，并假定FSF和MF均为正向，如图4.8(d)所示。由平衡方程
?F可得
y?0，FSF?FB?0
FSF??FB
由 可得
MF?FBd
?MF?0， ?MF?FBd?0
结果为负，说明与假定的指向相反(FSF)；结果为正(MF)，说明假定的转向正确。将FA和FB代入上述各式即可确定E、F截面的内力值。
【例题4.3】 如图4.9(a)所示为一在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度q0，几何尺寸如图所示。试求C、B两点处横截面上的剪力和弯矩。
图4.9 例题4.3图
解：当求悬臂梁横截面上的内力时，若取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，则不必求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写出横截面C上的剪力FSC和弯矩MC。
FSC??Fi??i?1nqCa 2MC??有三角形比例关系，可得 qC?qC1qa?a??Ca2 236aq0， 则 lFSCq0a2??
2lq0a3 MC??
6l【例题4.4】 如图4.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载F作用。试作梁的剪
力图和弯矩图。
解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。利用求内力的简便方法，考虑任意截面x的右侧梁段，则可写出任意横截面上的剪力和弯矩方程：
FS(x)?F (a)
M(x)??Fx (0≤x≤l) (b)
由(a)式可见，剪力图与x无关，是常值，即为水平直线，只需确定线上一点，例如x?0处，FS?F，即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。
由式(b)可知，弯矩是x的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需确定线上两点，如x?0处，M?0，x?l处，M??Fl，即可绘出弯矩图(如图4.11(c)所示)。