?c,max?My2[?]301?，所以 ，并已知t?Iz[?c]903
?t,maxy11?? (a) ?c,maxy23式(a)就是确定中性轴即形心轴位置y(如图5.3(b)所示)的条件。考虑到y1?y2?280mm(如图5.3(b)所示)，即得
y?y2?210mm (b)
显然，y值与横截面尺寸有关，根据形心坐标公式(见附录A)及如图5.3(b)中所示尺寸，并利用式(b)可列出
60??280?60??(280?60)?????60?220?280????22???? y?(280?60)???60?220 ?210mm
由此求得 ??24mm (c) 确定?后进行强度校核。为此，由平行移轴公式(见附录A)计算截面对中性轴的惯性矩Iz为
24?2203 Iz??24?220?(210?110)2?
12220?60360???220?60??280?210?? 122??2 ?99.2?106(mm)4?99.2?10?6(m)4 梁中最大弯矩在梁中点处，即
Fl80?103?2Mmax???40?103(N?m)?40(kN?m)
44于是，由式(5-7a)、式(5-7b)即得梁的最大压应力，并据此校核强度：
Mmaxy140?103?70?10?3?t,max??
Iz99.2?10?6 ?28.2?106Pa?28.2MPa?[?t]
?c,maxMmaxy240?103?210?10?3??
Iz99.2?10?6 ?84.7?106Pa?84.7MPa?[?C]
可见，梁满足强度条件。
【例题5.3】 试利用附录C的型钢表为如图5.4所示的悬臂梁选择一工字形截面。已知F?40kN，l?6m，[?]?150MPa。
图5.4 例题5.3图
解：首先作悬臂梁的弯矩图，悬臂梁的最大弯矩发生在固定端处，其值为
Mmax?Fl?40?103?6?240(kN?m)
应用式(5-7b)，计算梁所需的抗弯截面系数
Mmax240?103Wz≥??1.60?10?3(m3)?1600(cm3) 6[?]150?10由附录C型钢表中查得，45c号工字钢，其Wz??1570cm3与算得的Wz??1600cm3最为接近，相差不到5%，这在工程设计中是允许的，故选45c号工字钢。
【例题5.4】 一外伸铸铁梁受力如图5.5(a)所示。材料的许用拉应力为[?t]?40MPa，许用压应力为[?c]?100MPa，试按正应力强度条件校核梁的强度。
解：(1) 作梁的弯矩图。
由图5.5(c)可知，最大负弯矩在截面B上，其值为MB?20kN?m，最大正弯矩在截面E上，其值为ME?10kN?m。
图5.5 例题5.4图
(2) 确定中性轴的位置和计算截面对中性轴的惯性矩Iz。横截面形心C位于对称轴y上，C点到截面下边缘距离为
yC?Szy1CA1?y2CA2200?30?185?30?170?85??AA1?A2200?30?30?170
?139(mm)故中性轴距离底边139mm(如图5.5(b)所示)。
截面对中性轴z的惯性矩，可以利用附录A中平行移轴公式计算。
200?30330?17032Iz??200?30?46??30?170?5421212 ?40.3?10?6(m4)(3) 校核梁的强度。由于梁的截面对中性轴不对称，且正、负弯矩的数值较大，故截面
E与B都可能是危险截面，须分别算出这两个截面上的最大拉、压应力，然后校核强度。
截面B上的弯矩MB为负弯矩，故截面B上的最大拉、压应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为
?t,max,BMBy220?103?61?10?3???30.3(MPa)Iz40.3?10?6
?c,max,BMBy120?103?139?10?3???69(MPa)Iz40.3?10?6截面E上的弯矩ME为正弯矩，故截面E上的最大压、拉应力分别发生在上、下边缘(如图5.5(d)所示)，其大小为
?t,max,EMEy110?103?139?10?3???34.5(MPa)Iz40.3?10?6
?c,max,EMEy210?103?61?10?3???15.1(MPa)Iz40.3?10?6比较以上计算结果，可知，该梁的最大拉应力?t,max发生在截面E下边缘各点，而最大压应力?c,max发生在截面B下边缘各点，作强度校核如下。
?t,max??t,max,E?34.5MPa?[?t]?40MPa ?c,max??c,max,B?69MPa?[?c]?90MPa所以，该梁的抗拉和抗压强度都是足够的。
【例题5.5】 如图5.12所示两端铰支的矩形截面木梁，受均布荷载作用，荷载集度q?10kN/m。已知木材的许用应力[?]?12MPa，顺纹许用应力[?]?1.5MPa，设
h3?。试b2选择木材的截面尺寸，并进行切应力的强度校核。
图5.12 例题5.5图
解：
(1) 作梁的剪力图和弯矩图。木梁的剪力图和弯矩图如图5.12(b)和图5.12(c)所示。由图可知，最大弯矩和最大的剪力分别发生在跨中截面上和支座A，B处，其值分别为
Mmax?11.25kN?m，FS,max?15kN (2) 按正应力强度条件选择截面。由弯曲正应力强度条件得 Wz≥Mmax???11.25?103??0.00094(m3) 612?10又因h?3b，则有 2bh23b2 Wz? ?68故可求得
38Wz8?0.00094??0.135(mm) b?333 h?0.2m?200mm
(3) 校核梁的切应力强度。最大切应力发生在中性层，由矩形截面梁最大切应力公 式
(5-9)得
3FS,max3?15?103??? max2A 2?0.135?0.2?0.56(MPa)?[?]?1.5(M Pa)故所选木梁尺寸满足切应力强度要求。
第六章 弯曲变形
【例题6.1】 如图6.4所示一弯曲刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角?max。
解：由对称关系可知梁的两支反力为
FA?FB?梁的弯矩方程为
M(x)?将式(a)中的M(x)代入式(6-1b)
ql 2ql1qx?qx2?(lx?x2) (a) 222qEIw????M(x)??(xl?x2)
2
图6.4 例题6.1图
再通过两次积分，可得
q?lx2x3????C (b) EIw????2?23?q?lx3x4????Cx?D (c) EIw???2?612?在简支梁中，边界条件是左、右两铰支座处的挠度均等于零，即 在x?0处，w?0 在x?l处，w?0 将边界条件代入式(c)，可得
D?0 和
q?l4l4? EIw|x?l??????Cl?0
2?612?从而解出
ql3 C?
24于是，得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
q ??w??(l3?6lx2?4x3) (d)
24EI和
qx3 w?(l?2lx2?x3) (e)
24EI由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点是对称的，因此梁的挠曲线也应是对称的。由图6.4可见，两支座处的转角绝对值相等，且均为最大值。分别以x?0及x?l代入 式(d)，可得最大转角值为
?max?ql3??A????
24EI???B