究时间长教学时间又有限的这个矛盾。
赵震：其实就是你说的这个问题啊，也是带有普遍性，其实几乎吧，每一个小时在日常 教学中啊，都会遇到这个问题，所以我们讲了从理念上认识，探究性学习的价值了，也了解 它的一些基本的特征了，与此同时，还必须要掌握一些主体的教学策略，我想下面呢，就和 高老师一起结合如何从教材内容选择的方面来确定好探究内容，这个话题啊，咱们进行进一 步讨论和交流。
高萍：应该说这个话题啊，是探究式形式当中备课的一个难点，什么样的内容适合组织 学习自主探，那么什么样的内容又不适合学生们自主探，因为学生们的不同，教师也不同， 甚至教材的不同，都会影响了教师的判断，因此，对探究内容的选择，我们应该把握一些原 则，使得老师们在做判断的或做选择的时候有章可循有一个抓手，应该说小学教学当中的所 有内容，不是说都适合探究的，也不需要都探究。比如说有一些内容容易受到材料受到实验 条件受到学生基础知识以及探究能力的制约，很难进行探究。
赵东：您的意思就是说比如说最原始数学概念自然数吧，它就没必要深入探究。
高萍：对，还也一些呢就是一些抽象的概念，就是很难通过一些简单的探究活动来完成。 赵震：您刚才说这点我也这个体会。就比如说像射线这个概念，射线本来是推向一端无 限延伸的，那么这个内容学生的能力和它自己的知识经验基础，因为我个人看是不是，就没 有办法来完成这个所谓的探索的这个过程。
高萍：所以呢，在选择探究内容的时候，要充分考虑这样几个因素，一个是学科的知识 体系，它是怎么要求的，另外呢，要考虑到学生的逻辑思维的程度，考虑到他的认知的特点， 第三个，还要考虑到我们的教学计划时间有多少时间可以做这个单元，或者做整个的内容的 设计，所以具体说，那么围绕着这三个要素我们可以考虑以下几点，第一，选择内容的时候， 我们要选择那些有利于激发学生探究性的一些内容，因为小学生啊，天生就好奇，好奇心就 非常强，其实他喜欢探究，比如说三岁的左右的孩子老是问家长为什么啊，这是他探究的启 蒙，所以当它的好奇心得到的满足的时候，他够会找到成功感，所以探究性的内容选择应该 尽量激发学生们的内在学习动力和探究的兴趣，这样来激发它的探究的欲望。2
赵震：您这么一说，我想起一个例子，还是刚才那个长正方体，就是我记得在开头情境 引入的时候啊，在我设计的时候啊，是那个乌鸦喝水，是耳熟能详的孩子们的理解的顾虑的 引发啊，我就想设计了一个关于，浪费水嘛，有一些家庭里面，放一些砖来占空间，通过这 一分析才知道，他是占用空间节水这个目的，但是我引入了一个节水的目的，但是我引入了 一个数学问题，那么到底这块砖每次能够节省多少水量，用体积计量的问题了，这个时候孩 子一个是刚才那种他探究的兴趣起来了，他这种知识经验判断呢，老师肯定了，所以他进一 步研究到底这个体积多大的这个事儿他特别有兴趣。
高萍：学生觉得是一件比较好玩的事儿。所以实践表明啊，选择一些既能结合教材内容 把这个知识稳定落实，又能贴近生活乐趣，一些喜闻乐见的一些材料，就能比较好的诱发学 生用勇于探究啊，勇于钻研啊，积极思维啊，像这样的行为就能爆发出来，所以能够赋予这 种现行我们探究一种新的活力，这个是选择内容的一个方面，另外第二个方面呢，就是选择 适合于学生再创造的一个学习内容，我记得这个荷兰数学家，弗兰登泰尔（同音）曾经说过， 解决数学的唯一方法就是实行再创造，也就是说，有学生本人把要学的内容能够发现或者创 造出来，而不是靠老师把现成的知识灌给他们，因此，凡是能展开学生知识发生发展的过程 这样的内容，一般都要适合于探究的方式。
赵震：就是回顾刚才的课例，表示数啊，包括我说的负数啊等等这个类型相统一一点， 但是这个意思还是符合您意愿的，还有一点就是我在教学中还有这样的体会，你比如说一些 计算课，像小数乘法吧，刚刚这一学期的内容，看似简单，觉得学生有掌握数的乘法的基础， 然后数出小数点位数就点上小数点就可以了。但是实际上真的不是这样的，往往还真的需要
他在探究当中，明确这个计算道理，这样才能够有利于它的明确的算法，数出因数当中有几 个小数，就是从积的右边起，数出几位，可能形成这种一种算法，有一句话我记得特别诙谐， 就是理到才能法乘。
高萍：对对，就是在探理的过程当中，能够调用知识，自主建构。所以说小学数学当中 的计算课。像法则啊，这种还有一些性质，定律公式规律这些内容都比较适宜探究。 赵震：这就是适合探究的主要内容。
高萍：所以刚才赵震说，以往老师说，计算课不需要探究，直接几法就可以，其实它是 需要探究的。
赵东：对，尤其是在理的方面上。
高萍：对他得在自主调动那么知识，才能形成他解决这个问题的过程，一个道理，所以 他需要探，那第三个方面内容需要探的呢就是选择那些有利于学生运用知识解决问题的这样3
内容来探，他同样跟计算课一样，它是调用学生没有认知基础。没有认识，他看怎么组织这 些内容啊，用哪些东西来解决基本的新问题啊，这个就是属于在数学中需要探究的东西，那 么比如若说我们在话题一里面，赵震老师给大家讲的这个问题，说到应用题，所以说应用题 教学是非常适合探究的。上次我们讲到，他是调用了什么了，前边的概念基本的概念，然后 基本的计算来解决这样的问题，那到底用哪样的概念，哪样的能解决这样的问题，他得自己 去自主，所以它是适合探究的，那第四个，这个适合探究的内容是应该选择那些有利于学生 实践操作能够交流起来的一些内容。那么因为探索性的学习，只有借助于学生的亲身体验和 充分的交流，才是一个活生生的这种学习过程，那么学生通过探究，那么积累了丰富的数学 事实，那么进入交流才能把这个一个数学事实得到强化和促进，也就是老师们担心的不是两 基问题，那么你通过这样交流和研讨，就能够有机地落实地下去了。
赵东：那高老师您刚才谈到的，我们三角形的内角和是 180 度这个问题，包括平行四边 形的面积等，这些东西都是在充分的交流中来完善这个推理的过程来提升学生的思维水平。 高萍：那么刚才呢，我们简单地由几位老师的特例，我们引发了我们的思考，就是想给 老师们提供一个抓手，可以从这个四个方面去想，确定我们探究的内容，那实际上在确定探 究内容的时候，比较重要的一个策略是进行单元式的一个分析，整体把握探究的内容。那在 这方面赵震和赵东老师在北京市教育学院张单老师带领下，进行了有针对性的研究，下面呢， 请他们来做一个介绍。
赵震：张单咱们来就跟高老师各位老师简单地介绍一下就是第一个方面的思考，就是关 于平面图形多边形准确地说多边形的面积。赵东来介绍这个故事啊。
赵东：好，多边形的面积，也就是这个我们把握这个单元啊，主要是考虑有平行四边形 的面积，三角形的面积和梯形的面积，这是一个内容了，他们呢，从小学数学，空间与图形 的四大领域里面呢，属于包括图形的认识，图形的测量，图形与变换，图形与位置，在图形 这个测量这个板块中啊，又分为计量单位的学习，图形测量这两个小的板块应该说探索这三 个基本的平面图形面积的计算方法，这里面就蕴含着丰富的数学思想还有解决问题的一些策 略，作为一种重要的技能是培养学生素养的一个重要组成部分。因此说这部分内容历来就是 我们小学数学教学研究的重要内容之一。
高萍：对，那你们俩都是一线教师，那么关于多宾性这一单元的内容，那么在实践当中 你们是怎么处理和理解的呢？
赵震：那我先说，就是从整个单元来考虑，就是关于这个平面图形，这三个图形的公式 推导吧，就是总结和推导过程，从我个人来看，一般都是经过这样一个过程，一般都是让学4
生们动手去实验，将这个所谓的新的图形转换为以往雪果的图形，然后再通过小组的合作，
包括这种动手操作的一种实践方式，探索找到转化后的图形，与原来图形的那个联系，进而 呢，通过观察发现那个联系总结出这个新图形的面积的计算公式，然后同时按照学习那个先 后顺序毕竟有一个线性的排列嘛，我从单元来考虑，一般情况是这样来实施的，就是在教， 或者是学平行四边形面积这一课，跟三角形面积乃至梯形面积有所侧重，简单地说就是三个 词，平行四边形的面积是教，三角形的面积是扶，梯形的面积是放，到那时候就是想让学生 放手去操作，带自己去实践，探索。 赵东：有了一定的经验积累了。
赵震：这是我这样一个主体的思考。
高萍：沿着这个单元这个知识的整体的编排，成了这样一种教、扶、放的一种探究的程 度上的一个把握，是吧，所以呢，在进行单元分析的时候，在编排上，实际上他有明线，还 要分析出暗线。那只要明线，就是刚才赵震和赵东老师说的，平行四边形的面积，三角形的 面积，梯形的面积，就是这个三节课的内容，那么暗线则是我们积累了一个什么样的思想方 法，活动的经验，就是刚才赵震老师谈的找关系啊，转化图形啊，建立联系啊，然后进而进 行推理，推导出我们的公式，这样的一种教学的方式和这样的一种步骤的程序，这就是可行 的，是吧，得于整体把握这个教材，能不能你们具体地给说说，就是以平行的面积是一个起 始课为例，他既然是一个教的过程，那么在这个探中你们是怎么做的。
赵震：那就是说还是围绕着咱们这个探究性学习的主话题来说，我也有明确的困惑和问 题，比如说第一个问题就是说按我刚才所说的话题，平行四边形的面积，是应该完成一个初 步的让学生形成刚才您所说的就是暗线，就是转化找联系推导公式这个思考的思路这么一个 转化的过程，但是呢。
高萍：也是它的一个活动经验。
赵震：但是真要是变成一个一个实际的课堂的时候，带着自己的雄心勃勃往往与孩子们 想去探索这个平行四边形的面积，那么孩子们从开头他们就想不到这个转换的方法，换句话 说，给一点提示，给一点帮助，也一点素材，但是最终，学生还是探究起来很困难，导致最 后呢，还是我个人包办代替了，也经过这样的尝试，这是第一个问题，与此同时还有一个问 题也是相关的，转换完了之后，要找联系，又出一套话，就是新的图形哪部分相当于谁，它 相当于谁，这段话很长，逻辑性也很强，但是与此同时又十分的拗口，那么我看一般情况下， 有一半的孩子都说不好，也有 30%的孩子能说的大概齐，但是也不那么准确，仅有很少的 20%甚至都不足，这些孩子似乎还说的比较有条理性，因此往往在这种情况下，我都会给孩5
子们，提供一个翻印提纲，先说什么，后说什么，照提纲办事，显得顺利多了，但是自己也 觉得不是很满意。
赵东：对对，针对刚才赵老师提出这两个问题让我不禁想到了，就是这个孩子在这种课 堂上从事这种数学实践活动，实际上是在老师指挥下进行的，老师让您做什么，你就做什么， 这种操作，他能有这种转化出行寻找联系，这是源于他自己的需求吗？我觉得这一点是值得 怀疑的。
赵震：换句话说，我们俩还是觉得还是有问题，还是有问题。
高萍：就是看看问题出在哪儿呢？是不是？转化图形寻找前后之间的内在联系，其实用 这个生活经验，作为这节课的整个的暗线，然后带领学生自主探，完全正确，没有任何问题， 只是这是刚才你们单元整个课，这是一些起始课，其实这种经验一点点都没有，他在学长正 方形的时候，他是靠数方格来的，他还没有学会转化，所以在这一单元里面啊，你刚才分析 平行四边形面积这节课，它是第一次进行转化，第一次进行推理，是吧，第一次学会这样割 补的方法去做，所以对于三个这样的第一次，他当然有困难了，所以要注意什么呢，那就要 注意老师在这儿及时地给予指导，创设情境以后那么进行学法指导，所以我们想作这些地方
这个问题，是客观存在，不用着急，但是我们创设完情境以后，那么在跟学生互动研讨之中， 不断地捕捉学生的资源。然后把它不断地研讨指导，最后本节课结束了，落实到这节课这个 地方来，他能形成这样一个活动经验就可以了。 赵震：就是有点太着急了。
高萍：不要太着急。不要要求太高。
赵东：不要一下要求太高。
高萍：而且包括刚才赵老师说，他说那些话，他说不好，没有关系，用自己的方式说自 己想说的话但是老师在指导的时候注意什么呢，就是这里面的核心要素，他应该涵盖，就是 推理不能是跳跃的，然后推理不好，经常跟他做这样的交流，交流完了以后，然后给他引导 到这样正确严禁的途径上来就可以了，所以也不用哪些提示，刚才谈到这些问题，那么对于 几何这样单元，我想大家已经听的比较明白了，第一要坚持这样的探究，尽管在平行四边形 上起始课上不好探，我们也要放手，但是加上教师的指导会可能多一些，教师在跟学生研讨 当中点拨分量重一些，那么这个大家听的应该比较明白了，知道怎么上了，那么刚才说研究 的时候，我们有四个领域呢，空间图形，空间图形大家做了例子了，那么在数与代数这块儿， 你们有了怎样的研究呢，和大家可以交流交流。
赵震：除此之外呢，我们这个小的团队吧，包括跟教育学院张丹（同音）老师一起我们6 还进行了关于代数领域的关于方程那单元，当然也是高年级段，也做了一点尝试，我想简单 地跟您汇报，然后呢我们在跟老师进行交流，方程这个单元呢，应该是五年级上册，或者是 第九册周期的内容之一，应该说也是小学数学数与代数当中的重要的内容之一，值得关注的 问题呢，在我头脑当中呢，一直思考这两个问题，第一个是关于方程的教学，如何促进学生 有效地参与学习和探索活动，将现实问题数学化的问题，还有一个就是如何引导学生真实地 感受方程的思想，及其方程运用的价值，这两点也是一直在脑海里不断反复出现的一个思考 的话题，那么说到这儿呢，在实际的社会当中啊，我这样一点感受，我们组合这单元内容确 定单元教学重点的时候，不能感觉到既不能丢了西瓜，捡芝麻，为了小的地方不撒手，也不 能够眉毛胡子一把抓，都去探究都去思考，那时间肯定是不够，那么我们提出一个主要观点 是削枝强干，那么强干干什么，就是方程内容的本质，方程一个有一个简单的话来描述，他 是现实事件当中相等关系的这样一个模型，它是一个模型，而它的核心体现，正好在小学数 学年会上东北师大的史宁中校长，曾经关于方程的核心体现当中提到过明确两点，第一，方 程的核心体现在建模。 高萍：建模思想。
赵震：它的话就是说呢，这个建模就是用等号，将两件事儿，等价的事儿连理起来，或 者说是等号左右两边的等价。而它的话语当中还明确地提出来，至于啊，是自然语言描述的， 还是用咱们数学符号还表示出来的还是不重要，重要的还是那句话，左右两边的事情。在数 学上思考上面是等价的，这是第一点核心，第二点核心就是划归。划归思想。简单地说就是 把三元一次方程，转化为二元一次转化为一元一次以至于最后 X 等于几这样一个标准的解 法问题。我分析之后呢，就是觉得第一，使我明确地感受到，所谓的建模重要的体现就是在 我们教学的过程当中，就是一个字“列”而所谓的划归，那当然就是很明显的解，再去冷静 的分析一下，不难发现对比一下发现，在我们小学阶段，尤其是小学五年级阶段似乎列现在 是更重要一些，那么有这样一个思考呢，我们再去进一步引申去想，那么作为一种模型，方 程作为一种客观相等的模型，似乎他应该确实经历一种先让孩子，用自己的语音，或者是生 活的语言，去阐述看到什么事儿，发生了什么事儿，然后再用数学语言，出现了数学的表达， 最后运用相等的数学关系，数量的关系，用符号来建立方程，来解决问题，这个就是建模的 这样的一个基本的过程，那么最终我想目标应该是还是让学习体会到像你所说的，数学与现 实生活密不可分，而方程呢，是从现实生活中到数学这样一个抽象提炼的过程，一种将数学
符号提炼成现实生活中特定关系这样的过程，这一点至关重要，那么我们也要暂时有点考虑， 比如说关于方程的教学，无形中当中难度不少，最直观的一个道理，它必然是学生中的一个7
思维上的一次飞跃，准确地说具体的说就是由以往的算术思维，它要过渡到初步的代数的思 维上来，与此同时呢，方程作为一种叫做重要的思想重要的数学方法，他对于丰富学生解决 问题的策略，乃至于提高解决问题的能力，发展学生素养，都应该有一定非常重要的意义， 就是重中之重，就是越有难度，就是考虑也很详细一些。那比如说，从思维方式上，学生的 变化我们考虑的也比较充分。比如说速度时间距离，咱们小学生常见的一种数量关系，如果 从算术角度来讲，就是已知其中两个量，求第三个量，那么从代数角度来讲呢，比如说咱们 学正反比例的时候，那么咱们就从错综复杂的变化当中，就是求两种数量之间的对应关系。 但是对应当中，而且这么多种数据也发现，不管是怎么发生变化，一个量随着另外一个量变 化，他们之间什么不变，他们两个比值就是商不变。而且还要把这个变化的规律用咱们数学 符号给表示出来，我觉得难度上确实走不通，那么当然还有一点就是关于我们唆使的算术方 法就是跟我们今天要学习方程之间的这种联系甚至出现了影响。因为常听初中老师呢，说过 这样的话，当孩子小学毕业，走进中学的课堂，正式第一个单元要学习一元一次方程的时候， 孩子们出现这样那样的错误，而且他们的头脑当中他们建立的方法都是什么呢，方程的左边 加啊，减啊，乘除啊，等号右边 X，按照咱们说的话，那是还没脱离开，因此有初中老师就
无奈地跟学生说，包括跟我访谈也说到，我就跟初中老师说，我就跟我们班孩子说，你们要 把你们的算术法忘掉，忘掉的越干净越好，话里有话，细想，那不就是把我们小学数学学习 的否定了吗？换句话说，咱们所说的算术方法真的是那么大逆不道吗？我不敢同意他们的意 见，我觉得有这样一个思考，那到底两方面因素是在学生们学习算术的时候，缺少经验导致 学方程的困难，还是真的像他们所说的就是学算术法就不好，就对方程就有反面迁移的作用， 反迁移的促进的作用，那么我想冷静地想，其实找原因还是从我们老师去找，在学生找原因 是没有必要的。原因还出在我们老师身上，冷静思考以后，我觉得就是学生在学习算数的过 程中还是缺乏必要的一些经验，换句话说在我们讲的时候，五年级以前，学方程以前，算术 法就是算术法，当他学方程的时候，方程法就是方程法这两个是孤立的，不能说是对立的， 反正是割裂开来的。那我觉得在这方面去看待的话，那我觉得我们教学过程中肯定是偏离， 那包括刚才张丹老师所提出来的整体把握小学数学课程这个观念来看，简易方程，这一块儿 表面上看，就是小学五年级这一块儿，其实我通过分析思考，梳理内容，应该是它的思想方 法应该是渗透贯穿了中学乃至小学的教学当中，那么说到这儿呢，那么赵东呢，亲身经历过 一个例子，在跟我们老师进行交流的时候触动也特别大，利用今天这个机会，给跟高老师进 行一个介绍，也跟老师们一起分享。
赵东：记得在一次听课的时候呢，就是在一所农村学校，一共这班有 10 多个学生，学8 生几乎没有人知道老师要讲的内容，老师要问的问题是就是 9+4=？实际上一个凑 10 的加法
是吧。然后一个小男孩就作出反映了，我是这么算的 14-1=13 所以说 9+4=13，那么老师就 问了，你是怎么想的啊，我先把 9 当成 10 来看，那么 10+4=14 了吗？然后不是多加了一个
1 吗，我再减去 1 这就等于 13 了，那老师当时就评判了，你的方法可以，还有其他方法吗？
咱们能理解，老师显然是想让孩子说出那种课本上的方法，凑 10 法及但是真正引起我触动 的是什么呢，就是课后我问这个小男孩，是你的方法好啊，还是老师的方法好啊，小男孩不 加思索，当然是老师的方法好了。那你想孩子这种孩子刚才萌生这种立足于关系的思维的火