高考复习——数学知识总结
（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
sin?cos?2如：已知?1，tan???????，求tan???2??的值。1?cos2?3
sin?cos?cos?1（由已知得：??1，∴tan??2sin?2 2sin2?
2又tan??????3
21?ta?n?????tan?32?1）∴ta?n??2???ta?n??????????1?ta?n????·tan?1?2·1832
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b2?c2?a2余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?2bc
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
222
2 又A?B???C，∴2cosC?cosC?1?0
1∴cosC?或cosC??1（舍）2
?又0?C??，∴C?3
1（2）由正弦定理及a2?b2?c2得：2
?a?2RsinAabc?正弦定理：???2R??b?2RsinBsinAsinBsinC?c?2RsinC?
1S??a·bsinC2
∵A?B?C??，∴A?B???C
A?BC∴si?nA?B??sinC，sin?cos22
A?B如?ABC中，2sin2?cos2C?12
（1）求角C；
c222（2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。2
2（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cosC?1?1
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22222sinA?2sinB?sinC?sin
?3?34
1?co2sA?1?co2sB?34
3∴cos2A?cos2B??）4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
????反正弦：arcsinx???，?，x???1，1?2??2
反余弦：arccosx?0，?，x??1，1
????反正切：arctanx???，?，?x?R??22? 34. 不等式的性质有哪些？
c?0?ac?bc（1）a?b，c?0?ac?bc
（2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd
1111（4）a?b?0??，a?b?0??abab
nn（5）a?b?0?a?b，na?nb
（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a 35. 利用均值不等式：
?????a?b?a?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab???求最值时，你是否注?2?
?意到“a，b?R”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定 值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：
22???2a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R?22a?b
当且仅当a?b时等号成立。
222a?b?c?ab?bc?ca?a，b?R?
?? 当且仅当a?b?c时取等号。 a?b?0，m?0，n?0，则
bb?ma?na??1??b?nb aa?m4如：若x?0，2?3x?的最大值为x
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4??（设y?2??3x???2?212?2?43?x? 423当且仅当3x?，又x?0，∴x?时，ymax?2?43）x3
xy又如：x?2y?1，则2?4的最小值为
x2yx?2y?221，∴最小值为22） （∵2?2?22 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。
111如：证明1?2?2???2?223n 111111（1?2?2????2?1??????1?22?323n?n?1?n
?1?1?
11111???????223n?1n
?2?1?2）nf(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始 37.解分式不等式
如：?x?1??x?1??x?2??0
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 例如：解不等式|x?3|?x?1?1
1??（解集为?x|x??）2? ?
41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题
2 如：设f(x)?x?x?13，实数a满足|x?a|?1 求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)
22|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a?a?13)| 证明：
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?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)?|x?a||x?a?1|?|x?a?1| ?|x|?|a|?1 又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1? （按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值
例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是 （设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和
umin?3???2??5，∴5?a，即a?5
或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5） 43. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
?a?an?n?na?n?n?1?d前n项和Sn?1122
性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列；
Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；
aS（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则m?2m?1；bmT2m?1
2 （5）?an?为等差数列?Sn?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为 0的二次函数）
2S的最值可求二次函数S?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界 nn
项，即：
?an?0当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值。?an?1?0
?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。?an?1?0
如：等差数列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n?
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（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1
?a?a?1又S3?13·3?3a2?1，∴a2?23
?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3??∴Sn????18222
?n?27）
44. 等比数列的定义与性质
a定义：n?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1an
2等比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy
?na1(q?1)?前n项和：Sn??a1?1?qn?（要注意!）(q?1)?1?q?
性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq
（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列 45.由Sn求an时应注意什么？
（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法
111如：?an?满足a1?2a2????nan?2n?5222
1n?1时，a1?2?1?5，∴a1?142 解： 111n?2时，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?5222
1?1???2?得：nan?22
n?1 ∴an?2
?14(n?1)∴an??n?1(n?2) ?2
［练习］
5数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an3
S（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：n?1?4Sn
?1?
?2?
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