5．（1）设xi为三种产品生产量
通过 Lindo 计算得 x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733
（2）产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到 50/6，通过Lindo计算最优生产计划为：x1=29 ， x2= 46 ， x3= 25 ， Z = 774.9 。 （3）产品甲的利润在[6,15]范围内变化时，原最优计划保持不变。 （4）确定保持原最优基不变的q的变化范围为[-4,5]。
（5）通过 Lindo 计算，得到 x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707
第三章
1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。
对偶变量的值 yi? 表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解Y定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。
2.若以产值为目标，则 yi是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price）。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。 3.（1）最优性定理：设，a
，
分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C
= bT
，则
分别为各自的最优解。
（2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值
相等。
（3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X*、 Y*为最优解的充分必要条件是
,
。
（4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若 ?YS对应原问题决策变量 x 的检验数； ? Y 则对应原问题松弛变量xS 的检验数。 4.
表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C 台时以及增加材料可获利更多；14.89>12，所以设备 C 可以进行外协加工，200.89<210，所以暂不外购材料。
5.
(1)求出该问题的最优解和最优值；
x1= x2= x4= 0, x3= 2, x5= 6, Z = 4
(2)该问题的对偶问题的最优解和最优值：y1= 2 ，y2== 0 ， w = 4
(3) 分别为 2、0，对产值贡献的大小；第一种资源限量由 2 变为 4，最优解不会改变。 (4)代加工产品丁的价格不低于 2×2+0×3=4。4 6. (1)设四种产品产量为xi,i= 1,2,3,4
(2)
影子价格分别为 2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。
(3)原料丙可利用量在[900,1100] 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变）。
(4)若产品 B 的价格下降了 0.5 元，生产计划不需要调整。
第四章
1.纯整数规划、0-1 规划、混合整数规划。
2. (1)首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性规划问 题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。
(2)定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数 值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问 题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。
(3)剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：①若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；②在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值 Z 不优于现有下界。 (4)分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。 选取一个不符合整数条件的变量 xi作为分枝变量，若 xi的值是 bi* ，构造两个新的约束条件：xi≤[bi*] 或 xi≥[bi*]+1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子问题， 转步骤(1)。
最整数解为： x1=4, x2=2, z = 340
4. 解：设,tij 为个人对于个任务的时间耗费矩阵，则目标函
数为： 约束条件为：