§1.1.3
【知识要点】
导数的几何意义导学案
1．导数的几何意义
（1）割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx)) Δy
的一条割线，此割线的斜率是＝__________________.
Δx
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋向于在点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f?(x)是x的一个函数，称f?(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f?(x)也记作y′，即f?(x)＝y′＝_______________
【问题探究】
探究点一 导数的几何意义
例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．
跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 ( )
探究点二 求切线的方程
问题1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
问题2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？
例2 已知曲线y＝x2，求：
（1）曲线在点P(1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P(3,5)的切线方程．
跟踪训练2 已知曲线y＝2x2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．
1
【当堂检测】
1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为 ( ) A．4 B．16 C．8 D．2
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 3．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_______
【课堂小结】
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝lim
Δx→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝f′(x0)，
Δx
物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
【拓展提高】
，f(1))处的切线方程是y?1．已知函数y?f(x)的图象在点M(121x?2，则f(1)?f?(1)? 22．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0，?，则点P横坐
4标的取值范围为
?????
2
§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案
【知识要点】
1．几个常用函数的导数 原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝ xf(x)＝x 2．基本初等函数的导数公式 原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝sin x y＝cos x y＝ax(a>0，a≠1) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x 导函数 y′＝____ y′＝______ y′＝_______ y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝_____ y′＝______ y′＝______ 导函数 f′(x)＝___ f′(x)＝___ f′(x)＝___ f′(x)＝_____ f′(x)＝_______ 【问题探究】
探究点一 求导函数
问题1 怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：
（1） y＝c； （2）y＝x； （3）y＝x2； （4）y＝x； （5）y＝x.
问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
例1 求下列函数的导数：
π14（1）y＝sin； （2）y＝5x； （3）y＝3； （4）y＝x3； （5）y＝log3x.
3x
跟踪训练1 求下列函数的导数：
1
（1）y＝x8； （2）y＝()x； （3）y＝xx； （4）y?log1x
2
31
3
探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．
π??π?ππ3
cos′＝－sin ＝－. 求f(x)＝cos x在x＝处的导数，过程如下：f′?＝?3??3?332
跟踪训练2 求函数f(x)＝
13
在x＝1处的导数．
x
探究点三 导数公式的综合应用
例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AB上求一点P，使△ABP的面积最大．
跟踪训练3 点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【当堂检测】
1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )
131313－
①若y＝3，则y′＝－4； ②若y＝x，则y′＝x； ③若y＝2，则y′＝－2x3；
xx3x
④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于 ( )
3
D． 22x
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是 A．
B．0
C．
π3π
A．[0，]∪[，π)
44
π3π
B．[0，π) C．[，]
44
ππ3π
D．[0，]∪[，]
424
3
6
1
( )
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________
【课堂小结】
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
xx
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
223．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
【拓展提高】
1．若函数f(x)＝ex cos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( ) A．0° B．锐角 C．直角 D．钝角
2．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为___________
4
§1.2.3
【知识要点】
导数的运算法则
设两个可导函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的 和的导数 两个函数的 差的导数 两个函数的 积的导数 两个函数的 商的导数 导数的四则运算法则(一)导学案
[f(x)＋g(x)]′＝________________ [f(x)－g(x)]′＝_________________ ?f(x)g(x)??＝____________________ ??f(x)??g(x)?＝___________________ ??【问题探究】
探究点一 导数的运算法则
例1 求下列函数的导数：
x5＋x7＋x9（1）y＝3－lg x； （2）y＝(x＋1)(x－1)； （3）y＝.
x
跟踪训练1 求下列函数的导数：
x
2
x－1xsin x
（1）f(x)＝x·tan x； （2）f(x)＝2－2sin2； （3）f(x)＝； （4）f(x)＝. 2x＋11＋sin x
探究点二 导数的应用
例2 （1）曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________
t－1
（3）已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时
t速度．
跟踪训练2 （1）曲线y＝
1A．－
2
π?sin x1
－在点M??4，0?处的切线的斜率为 ( ) sin x＋cos x21
B. 2
C．－22 D． 22
1a
（2）设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．
32
【当堂检测】
1．设y＝－2exsin x，则y′等于 ( )
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x x
2．曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
x＋2
A．y＝2x＋1
D．－2ex(sin x＋cos x)
B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3
5
D．y＝－2x＋2