§1.3.2
【知识要点】
利用导数研究函数的极值导学案
1．极值的概念
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 ．如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ． 极大值点与极小值点统称为 2．求可导函数f(x)的极值的方法 （1）求导数f′(x)；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化． ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极 值． ②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极 值．
③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)
【问题探究】
探究点一 函数的极值与导数的关系
例1 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
3
跟踪训练1 求函数f(x)＝＋3ln x的极值．
x
探究点二 利用函数极值确定参数的值
例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点． （1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
探究点三 函数极值的综合应用
例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x?R. （1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
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跟踪训练3 若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
【当堂检测】
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( ) 1A．y＝
x
B．y＝x－ex C．y＝x3＋x2＋2x－3 D．y＝x3
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为 ( ) A．－12 D．a<－3或a>6 4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为__________
5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________
【课堂小结】
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
【拓展提高】
1．已知三次函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4． （1）求函数y?f(x)的表达式；（2）求函数y?f(x)的单调区间和极值
32．若函数f(x)?ax?bx?4，当x?2时，函数f(x)极值?4， 3（1）求函数的解析式；（2）若函数f(x)?k有3个解，求实数k的取值范围
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§1.3.3
【知识要点】
利用导数研究函数的最值导学案
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；
（2）计算函数f(x)在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【问题探究】
探究点一 求函数的最值
问题1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
问题2 观察问题1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？ 例1 求下列函数的最值：
1
（1）f(x)＝2x3－12x，x?[－1,3]； （2）f(x)＝x＋sin x，x?[0,2π]
2
跟踪训练1 求下列函数的最值：
（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x?[－3,1]； （2）f(x)＝ex(3－x2)，x?[2,5]．
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
（1）若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．（2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
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跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
探究点三 函数最值的应用
问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
例3 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
跟踪训练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x) 【当堂检测】 1．函数y＝f(x)在[a，b]上 ( ) A．极大值一定比极小值大 B．极大值一定是最大值 C．最大值一定是极大值 D．最大值一定大于极小值 2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1) ( ) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 π? 3．函数y＝x－sin x，x∈??2，π?的最大值是 A．π－1 π B．－1 2 ( ) D．π＋1 C．π 4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______ 【课堂小结】 1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题. 14 【拓展提高】 1－x1? 1．已知a≤＋ln x对任意x∈??2，2?恒成立，则a的最大值为( ) x A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y?3x?1 （1）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数y?f(x)在??3,1?上的最大值； （3）若函数y?f(x)在区间??2,1?上单调递增，求实数b的取值范围 15